HDU 4704

最新推荐文章于 2020-07-22 13:24:49 发布

mrcoderrev

最新推荐文章于 2020-07-22 13:24:49 发布

阅读量513

点赞数

CC 4.0 BY-SA版权

分类专栏：费马小定理

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/yjf3151731373/article/details/52130465

费马小定理专栏收录该内容

2 篇文章

订阅专栏

Sum

Time Limit:1000MS Memory Limit:131072KB 64bit IO Format:%I64d & %I64u

Submit Status

Description

Input

Output

2

        
 
     
         
  
       
   
       Hint 
  
      
1.  For N = 2, S(1) = S(2) = 1.

2.  The input file consists of multiple test cases.

     
     

     
     

     
     

     
     
      给定一个数n 将其分解，Si 表示将n拆成i个数的方案数
      求sum( si ) 1<=i<=n;
      分析：
      隔板原理， n个木棍，n-1个缝，
      分成1份则是C(n-1,0);
      分成2份则是C(n-1,1);
      分成3份则是C(n-1,2);
      ...
      分成n份则是C(n-1,n-1);
      ans = sum( C(n-1,i) ) (0<=i<=n-1)
      =2^(n-1);
      由于要取模而且 2与 mod 互质，因此可以用费马小定理来降幂
      

      

      题目要求s1+s2+s3+...+sn;//si表示n划分i个数的n的划分的个数,如n=4,则s1=1,s2=3
      假设An=s1+s2+s3+...+sn;
      对于n可以先划分第一个数为n,n-1,n-2,...,1，则容易得出An=A0+A1+A2+A3+...+A(n-1);
      =>A(n+1)=A0+A1+A2+A3+...+An =>An=2^(n-1);
      由于n非常大,所以这里要用到费马小定理:a^(p-1)%p == 1%p == 1;//p为素数
      所以2^n%m == ( 2^(n%(m-1))*2^(n/(m-1)*(m-1)) )%m ==(2^(n%(m-1)))%m * ((2^k)^(m-1))%m == (2^(n%(m-1)))%m;//k=n/(m-1)
      

      2^n%m＝(2^(n%(m-1)))%m

      然后快速幂

     
     
      费马小定理（Fermat Theory）是数论中的一个重要定理，其内容为： 假如p是质数，且Gcd(a,p)=1，那么 a(p-1) ≡1（mod p）。即：假如a是整数，p是质数，且a,p
      互质
      (即两者只有一个
      公约数
      1)，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。该定理是1636年
      皮埃尔·德·费马
      发现的。

     
     

     
     
      #include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;
const int N = 1000000;
char str[N];
const int  mod = 1000000007;
typedef long long LL;
LL quick(LL x, LL n);


int main()
{
    while(scanf("%s", str)!=EOF)
    {
        LL n=0;
        for(int i=0;str[i];i++)
        {
            n=(n*10+(str[i]-'0'))%(mod-1);
        }
        printf("%I64d\n",quick(2,n-1)%mod);
    }
    return 0;
}


LL quick(LL x, LL n)
{
    LL r=1;
    while(n!=0)
    {
        if(n&1)
        {
            r=(r*x)%mod;
        }
        x=(x*x)%mod;
        n>>=1;
    }
    return r;
}