Hdu4704 Sum(又见费马小定理)

本文探讨了一种使用快速幂解决大型组合数问题的方法,通过小费马定理简化计算过程,有效应对大规模数值计算挑战。

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Sum

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Problem Description
 

Sample Input
2
 

Sample Output
2
Hint
1. For N = 2, S(1) = S(2) = 1. 2. The input file consists of multiple test cases.


题意:将N拆分成1-n个数,问有多少种组成方法。比如Sn=s1+s2+s3+..sn,S(n+1)=s1+s2+s3+...sn+s(n+1);S(n+1)=2Sn.所以Sn=2^(n-1)。但是这个n非常大。本来想用二进制快速幂这个n,无果。小费马定理的公式都知道:a^(p-1) %p=1  也就是说这个式子可以用1来代替。比如A是a的逆元A*a%p=1.我们可以把这个式子变成a*a*(p-2)%p=1;这个公式化简就是上面的小费马定理,我们可以把A看做是a^(p-2)%p=1、所以a的逆元就是这个东西。好了,言归正传。这个题目我们可以把n分解。变成多少个(p-1)+k。也就是    (t*(p-1)+k) %p。根据同余定理,2^t(p-1)%p正好等于1,乘上一个数没有影响,所以只剩下2^k % p。这个k就是小于1e9+7的数,再运用快速幂求(2,k)即可。

对于任意自然数,当要求a^p%m时,就可以利用费马小定理化简,只需求(a^(p%(m-1)))%m;(p是素数)

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <map>
#include <stack>
#include <list>
#include <vector>
using namespace std;
#define LL long long
const LL M=1e9+7;
char s[100010];
LL xiaofeima(LL m)
{
	int l=strlen(s);
	LL ans=0;
	for (int i=0;i<l;i++)
		ans=(ans*10+s[i]-'0') %m;
	return ans;
}
LL ksm(LL a,LL b)
{
	LL ans=1;
	while (b)
	{
		if (b % 2==1)
			ans=ans*a%M;
		a=a*a%M;
		b>>=1;
	}	
	return ans;
}
int main()
{
	while (gets(s))
	{
		LL k=xiaofeima(M-1);
		//cout<<k<<endl;
		cout<<ksm(2,k-1)<<endl;
	}
	return 0;
}


HDU 2034 是一道经典的 A-B Problem 题目,通常涉及简单的数学运算或者字符串处理逻辑。以下是对此类问题的分析以及可能的解决方法。 ### HDU 2034 的题目概述 该题目要求计算两个数之间的差值 \(A - B\) 并输出结果。需要注意的是,输入数据可能存在多种情况,因此程序需要能够适应不同的边界条件和特殊情况[^1]。 #### 输入描述 - 多组测试数据。 - 每组测试数据包含两行,分别表示整数 \(A\) 和 \(B\)。 #### 输出描述 对于每组测试数据,输出一行表示 \(A - B\) 的结果。 --- ### 解决方案 此类问题的核心在于正确读取多组输入并执行减法操作。以下是实现此功能的一种常方式: ```python while True: try: a = int(input()) b = int(input()) print(a - b) except EOFError: break ``` 上述代码片段通过循环不断接收输入直到遇到文件结束符 (EOF),适用于批量处理多组测试数据的情况。 --- ### 特殊考虑事项 尽管基本思路简单明了,在实际编码过程中仍需注意以下几点: 1. **大数值支持**:如果题目中的 \(A\) 或 \(B\) 可能非常大,则应选用可以容纳高精度的数据类型来存储这些变量。 2. **负数处理**:当 \(B>A\) 导致结果为负时,确保程序不会因符号错误而失效。 3. **异常捕获**:为了防止运行期间由于非法字符或其他意外状况引发崩溃,建议加入必要的错误检测机制。 --- ### 示例解释 假设给定如下样例输入: ``` 5 3 7 2 ``` 按照以上算法流程依次完成各步操作后得到的结果应当分别为 `2` 和 `5`。 ---
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