第五次近世代数笔记——群与环拾遗

自然同态$\varphi$：群到商群的映射

（商群的单位元就是等价关系对应的陪集？？存疑教材P58

群同态的核都是正规子群

群同态$\varphi$满足：$\varphi (x^{-1})=\varphi (x{)}^{-1}$

单同态与满同态

$\sigma :G\to G^{\prime }，群同态$

满同态$\sigma$，若$\sigma G=G^{\prime }$
单同态$\sigma$，若$G$与$\sigma G$同构，即$G$与$G^{\prime }$的一个子群同构

满同态，（由于教材P58问题没有解决，解决了补上）
单同态,当且仅当ker(σ)={eG}ker(\sigma)=\{e_G\}ker(σ)={eG​}

$\sigma :G\to G^{\prime }，环同态$

如果$\sigma$是满同态，$N=ker(\sigma )$,则

${\sigma }^{-1}(\sigma (H))=H+N$
$\sigma ({\sigma }^{-1}(H^{\prime }))=H^{\prime }$
特别地，若$N\subseteq H$ ，则
${\sigma }^{-1}(\sigma (H))=H$（很自然）

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