中国剩余定理与扩展 Lucas定理与扩展学习笔记

最新推荐文章于 2025-07-12 17:07:20 发布

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本文详细介绍了中国剩余定理及其扩展形式，包括问题阐述、数学证明和具体实现代码。同时，对Lucas定理及扩展形式进行了探讨，特别是涉及到在模质数意义下的计算。文章提供了详细的解题思路和代码示例，便于读者理解和应用这些定理。

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中国剩余定理

问题

求同余方程组

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ x \equiv c 1 (mod m 1) x \equiv c 2 (mod m 2) x \equiv c 3 (mod m 3) . . . x \equiv c k (mod m k)

$\left\{ \begin{array}{c} x\equiv c_1\pmod {m_1}\\ x\equiv c_2\pmod {m_2} \\ x\equiv c_3\pmod {m_3}\\ ...\\ x\equiv c_k\pmod {m_k} \end{array} \right.$
其中满足

(mi,mj)=1,1<=i≠j<=k(mi,mj)=1,1<=i≠j<=k $(m_i,m_j)=1,1<=i\neq j<=k$
x的最小正（非负）整数解

结论

令 $M=m_1*m_2*m_3*...*m_k$
则 $x=(\sum\limits_{i=1}^k c_i*{M\over m_i}*inv({M\over m_i},mi))\%M$

证明

a.在模M意义下x只有唯一解 ~~（有多解那还了得）~~
b.令 $n_i$ 满足 $n_i\% {M\over m_i}=0$ 且 $n_i\% m_i=1$ ，则 $N=\sum\limits_{i=1}^k c_i*n_i$ 为原问题的一个解
c.根据上面的式子容易得出 $n_i={M\over m_i}x,n_i=m_iy+1$ ，则 ${M\over m_i}x=m_iy+1$ ，即 ${M\over m_i}x-m_iy=1$
d.由于 $m_i$ 两两互质，所以 ${M\over m_i}$ 与 $m_i$ 也互质，令 $a={M\over m_i},b=m_i$ ，则 $ax-by=1$
e.可以发现我们已经将其化简成扩展欧几里得的基本形式 $ax+by=(a,b)$ ，其中也可以认为x为a在模b意义下的逆元

代码

codevs 3990

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
#define LL long long

LL k,l,r,n,M,x,y,Min,ans,m[15],c[15];

void exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
    if (!b) x=1,y=0;
    else exgcd(b,a%b,y,x),y-=a/b*x;
}
int main()
{
    scanf("%d%lld%lld",&k,&l,&r);
    M=1LL;
    for (int i=1;i<=k;++i)
    {
        scanf("%lld%lld",&m[i],&c[i]);
        M*=m[i];
    }
    for (int i=1;i<=k;++i)
    {
        LL a=M/m[i],b=m[i];
        exgcd(a,b,x,y);
        x=(x%b+b)%b;
        if (!x) x+=b;
        n+=c[i]*a*x;
    }
    n%=M;
    if (!n) n+=M;

    if (r>=n)
        ans=(r-n)/M+1;
    if (l>=n) ans=ans-((l-n)/M+1);
    if ((l-n)%M==0) ++ans;
    if (ans)
    {
        if (l<=n) Min=n;
        else Min=n+((l-n)/M+1)*M;
    }
    printf("%lld\n%lld\n",ans,Min);
}

扩展中国剩余定理

问题

求同余方程组

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ x \equiv c 1 (mod m 1) x \equiv c 2 (mod m 2) x \equiv c 3 (mod m 3) . . . x \equiv c k (mod m k)

$\left\{ \begin{array}{c} x\equiv c_1\pmod {m_1}\\ x\equiv c_2\pmod {m_2} \\ x\equiv c_3\pmod {m_3}\\ ...\\ x\equiv c_k\pmod {m_k} \end{array} \right.$
x的最小正（非负）整数解