一阶常微分方程

一阶常微分方程

讲课内容

一、分离变量法

分离变量法是解决一阶常微分方程中最常见的方法之一，适用于可分离变量的方程。对于形如：
$$\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)$$
的方程，使用分离变量法可以将 $x$ 和 $y$ 的函数分开，从而进行求解。

1.1 分离变量法的步骤

1. 将方程重写为：
   $$\frac{dy}{h(y)}=g(x)dx$$
2. 对两边进行积分：
   $$\int \frac{dy}{h(y)}=\int g(x)dx$$
3. 根据积分结果，解出 $y(x)$。

例子：
求解方程 $\frac{dy}{dx}=y^2$，其中初始条件为 $y(0)=1$。

解答：

1. 将方程分离变量：
   $$\frac{dy}{y^2}=dx$$
2. 对两边进行积分：
   $$\int \frac{dy}{y^2}=\int dx$$
   得到：
   $$-\frac{1}{y}=x+C$$
3. 根据初始条件 $y(0)=1$，代入 $x=0$ 和 $y=1$，解得 $C=-1$。
4. 最终解为：
   $$y(x)=\frac{1}{1-x}$$

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二、齐次方程与非齐次方程

齐次方程和非齐次方程是求解一阶常微分方程时的两种重要类型。通过代换法，我们可以将非齐次方程转换为齐次方程，从而简化问题。

2.1 齐次方程

齐次方程的一般形式为：
$$\frac{dy}{dx}=\frac{f(x,y)}{g(x,y)}$$
通过代换法 $v=\frac{y}{x}$（或 $y=vx$）可以将其转化为更简单的方程。

例子：
求解方程 $\frac{dy}{dx}=\frac{x+y}{x}$。

解答：

1. 进行代换：设 $y=vx$，则 $\frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}$。
2. 代入原方程：
   $$v+x\frac{dv}{dx}=1+v$$
3. 进一步简化，得到：
   $$x\frac{dv}{dx}=1$$
4. 解此方程得到：
   $$v=\ln |x|+C$$
   所以：
   $$y=x(\ln |x|+C)$$

2.2 非齐次方程

非齐次方程的一般形式为：
$$\frac{dy}{dx}=\frac{f(x,y)}{g(x,y)}+h(x)$$
可以通过使用常数变易法来解决，即引入常数 $C(x)$ 来表示非齐次项。

例子：
求解方程 $\frac{dy}{dx}=y+x$，其中 $y(0)=1$。

解答：

1. 解对应的齐次方程 $\frac{dy}{dx}=y$ 得到通解：
   $$y_h=C{e}^x$$
2. 对非齐次项 $x$，我们假设特解的形式为 $y_p=Ax+B$。
3. 将 $y_p$ 代入方程，得到：
   $$A=1,B=0$$
4. 因此，特解为 $y_p=x$。
5. 总解为：
   $$y(x)=C{e}^x+x$$
6. 根据初始条件 $y(0)=1$，解得 $C=1$，所以最终解为：
   $$y(x)=e^x+x$$

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三、线性一阶方程

线性一阶微分方程的标准形式为：
$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$$
可以通过使用积分因子法来求解。

3.1 积分因子法

积分因子法的基本步骤如下：

1. 将方程写成标准形式 $\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$。
2. 计算积分因子 $\mu (x)=e^{\int P(x)dx}$。
3. 将方程两边乘以积分因子，得到：
   $$\mu (x)\frac{dy}{dx}+\mu (x)P(x)y=\mu (x)Q(x)$$
4. 由此方程可以得到左边是一个完全导数，可以直接积分。

例子：
求解方程 $\frac{dy}{dx}+2y=6x$。

解答：

1. 方程已是标准形式，其中 $P(x)=2$，$Q(x)=6x$。
2. 计算积分因子：
   $$\mu (x)=e^{\int 2dx}=e^{2x}$$
3. 将方程两边乘以积分因子：
   $$e^{2x}\frac{dy}{dx}+2e^{2x}y=6x{e}^{2x}$$
4. 左边是完全导数：
   $$\frac{d}{dx}(e^{2x}y)=6x{e}^{2x}$$
5. 积分两边：
   $$e^{2x}y=\int 6x{e}^{2x}dx$$
6. 通过分部积分法计算右边的积分，得到：
   $$e^{2x}y=3x^2{e}^{2x}-3e^{2x}+C$$
7. 解得：
   $$y=3x^2-3+C{e}^{-2x}$$

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课堂活动

活动 1：通过分离变量法解决简单的微分方程

问题：
解方程 $\frac{dy}{dx}=3y$，并给定初始条件 $y(0)=2$。

步骤：

1. 将方程分离变量：
   $$\frac{dy}{y}=3dx$$
2. 对两边积分：
   $$\ln |y|=3x+C$$
3. 取指数，得到：
   $$y=C{e}^{3x}$$
4. 根据初始条件 $y(0)=2$，解得 $C=2$。
5. 最终解为：
   $$y=2e^{3x}$$

活动 2：应用积分因子法解决实际问题

问题：
解方程 $\frac{dy}{dx}+4y=2x$，并给定初始条件 $y(0)=1$。

步骤：

1. 计算积分因子：
   $$\mu (x)=e^{\int 4dx}=e^{4x}$$
2. 将方程两边乘以积分因子：
   $$e^{4x}\frac{dy}{dx}+4e^{4x}y=2x{e}^{4x}$$
3. 左边是完全导数：
   $$\frac{d}{dx}(e^{4x}y)=2x{e}^{4x}$$
4. 积分两边：
   $$e^{4x}y=\int 2x{e}^{4x}dx$$
5. 计算右边的积分，得到：
   $$e^{4x}y=\frac{x^2}{2}{e}^{4x}+C$$
6. 解得：
   $$y=\frac{x^2}{2}+C{e}^{-4x}$$
7. 根据初始条件 $y(0)=1$，解得 $C=1$，因此解为：
   $$y(x)=\frac{x^2}{2}+e^{-4x}$$

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Python 代码实现示例

1. 解分离变量法的方程 $\frac{dy}{dx}=y^2$

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import odeint

# 定义微分方程
def dydx(y, x):
    return y**2

# 初始条件
y0 = 1
x_values = np.linspace(0, 2, 100)

# 使用odeint求解
y_values = odeint(dydx, y0, x_values)

# 绘制解的图像
plt.plot(x_values, y_values, label='y(x) = 1 / (1 - x)')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Solution to dy/dx = y^2, y(0) = 1')
plt.legend()
plt.show()

2. 解线性一阶方程 $\frac{dy}{dx}+2y=6x$

from scipy.integrate import odeint

# 定义微分方程
def dydx(y, x):
    return 6*x - 2*y

# 初始条件
y0 = 0
x_values = np.linspace(0, 5, 100)

# 使用odeint求解
y_values = odeint(dydx, y0, x_values)

# 绘制解的图像
plt.plot(x_values, y_values, label='y(x) = 3x^2 - 3 + C * exp(-2x)')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Solution to dy/dx + 2y = 6x, y(0) = 0')
plt.legend()
plt.show()

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总结

• 分离变量法是解决可分离变量一阶常微分方程的有效方法，适用于方程可以分解为 $\frac{dy}{h(y)}=g(x)dx$ 的情况。
• 齐次与非齐次方程可以通过代换法或常数变易法简化求解。
• 积分因子法是解决线性一阶微分方程的重要工具，可以通过计算积分因子，将方程转化为易于求解的形式。