常微分方程的基本概念

常微分方程的基本概念

讲课内容

一、常微分方程的定义与分类

常微分方程是描述未知函数与其导数之间关系的方程，通常用于表示自然现象中的动态系统。常微分方程可以分为不同的类别。

1.1 常微分方程的定义

常微分方程可以表示为：
$$F(x,y,y^{\prime },y^{\prime \prime },\dots ,y^{(n)})=0$$
其中：

• $x$ 是自变量；
• $y$ 是未知函数；
• $y^{\prime },y^{\prime \prime },\dots ,y^{(n)}$ 是函数 $y$ 关于 $x$ 的导数。

1.2 初值问题与边值问题

• 初值问题：给定方程及其在某个初始点（通常是 $x=x_0$）上的函数值或导数值，要求求解该方程。
  $$y^{\prime }(x)=f(x,y),y(x_0)=y_0$$
  例如，已知方程 $y^{\prime }(x)=-2y(x)$ 且初始条件为 $y(0)=1$，要求求解该常微分方程。

• 边值问题：给定方程及其在区间两端的边值，要求求解方程。通常出现在描述空间或物理系统的问题中。

1.3 线性与非线性方程

• 线性常微分方程：如果方程中的未知函数及其导数只以一次项出现，并且系数是已知的常数或已知函数，那么该方程是线性的。例如：
  $$y^{\prime \prime }(x)+p(x)y^{\prime }(x)+q(x)y(x)=g(x)$$

• 非线性常微分方程：如果方程中的未知函数及其导数的幂次大于1或出现未知函数的乘积项，则该方程为非线性的。例如：
  $$y^{\prime \prime }(x)+y(x{)}^2=0$$

1.4 方程的阶数和阶次

常微分方程的阶数指的是方程中最高阶导数的阶数。比如，对于方程 $y^{\prime \prime }(x)+y^{\prime }(x)+y(x)=0$，它的阶数是2。

1.5 解的存在性与唯一性

• 解的存在性定理：常微分方程的解是否存在，取决于初始条件和方程的性质。皮卡-林德勒夫定理给出了关于解存在性的条件：
  如果方程满足Lipschitz条件，那么解在某个区间内是存在的。

• 解的唯一性定理：对于给定的初值问题，解不仅要存在，而且应该是唯一的。皮卡-林德勒夫定理也给出了唯一性条件。

1.6 例子与计算

我们将通过一个简单的例子来演示如何解决常微分方程。

例子 1： 求解初值问题 $y^{\prime }(x)=-2y(x),y(0)=1$

步骤：

1. 通过分离变量法，将方程转化为：
   $$\frac{dy}{y}=-2dx$$
2. 对两边积分：
   $$\ln |y|=-2x+C$$
3. 解得：
   $$y(x)=C{e}^{-2x}$$
4. 根据初始条件 $y(0)=1$，求得 $C=1$，因此解为：
   $$y(x)=e^{-2x}$$

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课堂活动

活动 1：初值问题的求解

任务：通过分离变量法，求解初值问题 $y^{\prime }(x)=3y(x),y(0)=2$。

步骤：

1. 写出方程：
   $$y^{\prime }(x)=3y(x)$$
2. 分离变量，得到：
   $$\frac{dy}{y}=3dx$$
3. 对两边积分：
   $$\ln |y|=3x+C$$
4. 取指数，得到：
   $$y(x)=C{e}^{3x}$$
5. 根据初始条件 $y(0)=2$，得到：
   $$C=2$$
   所以解为：
   $$y(x)=2e^{3x}$$

活动 2：边值问题的求解

任务：求解边值问题 $y^{\prime \prime }(x)-4y(x)=0$ 在区间 $[0,\pi ]$ 上的解，满足边值条件 $y(0)=0,y(\pi )=0$。

步骤：

1. 假设解的形式为 $y(x)=e^{rx}$。
2. 代入方程 $y^{\prime \prime }(x)-4y(x)=0$，得到特征方程：
   $$r^2-4=0$$
3. 解得 $r=2$ 或 $r=-2$，所以通解为：
   $$y(x)=A{e}^{2x}+B{e}^{-2x}$$
4. 代入边值条件 $y(0)=0$，得到 $A+B=0$，即 $B=-A$。
5. 代入边值条件 $y(\pi )=0$，得到：
   $$A{e}^{2\pi }+(-A)e^{-2\pi }=0$$
   这给出了 $A=0$，所以解为：
   $$y(x)=0$$

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Python 代码实现示例

1. 解初值问题 $y^{\prime }(x)=-2y(x),y(0)=1$

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义方程
def dydx(x, y):
    return -2 * y

# 初始条件
y0 = 1
x0 = 0
x_values = np.linspace(0, 5, 100)

# 使用odeint解常微分方程
from scipy.integrate import odeint
y_values = odeint(dydx, y0, x_values)

# 绘制图像
plt.plot(x_values, y_values, label='y(x) = e^(-2x)')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Solution to y\'(x) = -2y(x), y(0) = 1')
plt.legend()
plt.show()

2. 解边值问题 $y^{\prime \prime }(x)-4y(x)=0$ 进行求解

from scipy.integrate import solve_bvp

# 定义常微分方程
def fun(x, y):
    return np.vstack((y[1], 4 * y[0]))

# 边值条件
def bc(ya, yb):
    return np.array([ya[0], yb[0]])

# 网格和初值
x = np.linspace(0, np.pi, 100)
y_init = np.zeros((2, x.size))
y_init[0] = np.sin(x)

# 使用solve_bvp求解
solution = solve_bvp(fun, bc, x, y_init)

# 绘制解的图像
plt.plot(solution.x, solution.y[0], label='Solution to y\'\'(x) - 4y(x) = 0')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Solution to Boundary Value Problem')
plt.legend()
plt.show()

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总结

• 常微分方程是描述自然现象的数学工具，通常通过初值问题或边值问题来求解。
• 解的存在性与唯一性保证了解的合理性，常常借助皮卡-林德勒夫定理进行分析。
• 使用Python库（如 odeint 和 solve_bvp）可以有效地求解常微分方程并绘制解的图像，帮助学生理解微分方程的解决过程。