格密码教程（四）：SVP和CVP,Hermite定理,Blichfeld定理和Minkowski定理

最新推荐文章于 2025-07-19 13:31:43 发布
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分类专栏： 格密码教程 文章标签： svp cvp 格密码 Minkowski定理 Blichfeld定理
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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qq_41359358/article/details/119910010
本文介绍了格密码中的关键问题SVP（最短向量问题）和CVP（最近向量问题），并探讨了Hermite定理、Blichfeld定理和Minkowski定理在解决这些问题中的应用。Hermite定理给出了格中最短非零向量的上界，而Blichfeld定理和Minkowski定理在几何角度提供了进一步的洞察。

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一.
首先对格上的两个基本问题进行描述：
1.SVP： 在格L中找到一个最短的非零向量，即找到一个使欧几里得范式∥v∥\left \| v\right \|∥v∥最小化的非零向数v∈Lv∈L

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36、基于 CVP∞ 的数字签名方案：l∞-范数下的密码学探索
pandas7gardener的博客
07-18 1
本文研究了基于CVP∞问题的数字签名方案，引入l∞-范数下的向量约简方法，旨在提升密码系统的安全性和效率。通过改进Babai算法并提出新的“好基”定义，设计了高效的签名算法，并与经典的GGH签名方案进行了比较。结果显示，新方案在安全性和签名长度方面具有优势，为物联网安全、区块链等应用提供了潜在的实用价值。
18、密码学中格的两面性
grape的博客
07-19 5
本文探讨了密码学中格的两面性，介绍了格的基本定义、算法问题及其复杂度结果与算法结果。通过分析背包问题、隐藏数问题等具体实例，展示了格规约在密码学中的广泛应用。同时，文章还探讨了基于格的密码学、多项式方程小根问题的发展，以及格规约与RSA密码系统、整数分解之间的联系。尽管格问题在理论上大多是NP难的，但标准的格规约算法在实践中表现良好，未来格在密码学中的应用有望进一步拓展和深化。
格签名相似概念区分: SVP、SIS、LWE的区分
qq_44775134的博客
08-18 3882
参考. 格的困难问题： 最短向量问题 (Shortest Vector Problem, SVP). SVP 问题定义为：对于给定的格Λ\LambdaΛ ，找到一个非零的格向量v\bold vv ，使得对于任意的非零向量u∈Λ\bold u \in \Lambdau∈Λ，∣∣v∣∣≤∣∣u∣∣||\bold v||\le||\bold u||∣∣v∣∣≤∣∣u∣∣。 类似问题有： 近似最短向量问题aSVP(Approximate Shortest Vector Problem) 唯一最短向量问题 (Uni
格密码LLL算法：如何解决最短向量SVP问题（3）（完结篇）
forest_LL的博客
06-03 1632
目录一. 运算每个正交基过程是多项式时间二. 对原格基的操作都为多项式时间三. 算法总运行时间四. 开放性问题在运算正交基对应的系数时，依据克莱姆定理，可得系数的计算公式如下： 此结果表明为有理数，分母为，此结果是用来计算正交基的，如下：由此可说明，如下两个表达式一定是整数形式：显然易得正交基的下限：由此易得正交基计算的上限如下：此部分主要想证明，在进行约化迭代时，原格基长度不会发生太大改变。 每一步出现的原基向量都可以利用M相关的多项式比特表示。原因可见如下不等式：上式子中第一个等号依据互相垂直可得，第一
格密码基础：详解最短向量问题（SVP）以及攻击算法
forest_LL的博客
03-23 5196
之前讨论过的闵可夫斯基第一定理表明：任何秩为n的格一定包含一个非零且长度不超过的向量已给出的证明过程实际上不够全面，并没有给出找到此最短向量的准确算法。当然，这其实是一个公开的问题，目前还没有完全准确的算法找到此最短向量。这也是格密码的最底层问题，如果有一天这个问题被解决了，那么格密码的大厦将轰然倒塌。今天我们来看下这个问题为何如此重要。为了讨论此类问题的计算复杂度，可以先定义下格的一种问题：最短向量问题，简写SVP。找出最短向量叫做计算SVP问题计算出最短向量长度：优化SVP问题。
【格密码基础】：详解closest lattice vector problem(CVP)问题
forest_LL的博客
02-01 1820
当然，穷搜也太傻了。我们采用刚才谈到的二分搜寻法，也就是借助已有的decisional CVP的oracle，确定最终的距离dist(t,L(B))也就只需要2logR步。格基向量的长度是确定的，那么R跟n之间是多项式关系，此算法最多也是多项式形式。也就是给定格（lattice），以及一个目标点，该目标点通常不是格点，我们的目的是找出离其最近的格点，该问题计算上是困难的。其实CVP问题有三种变式情况，第一种就是找到离其最近的格向量，第二种就是找出最近的距离，第三种是判定其距离是否小于某个已知的常数。
【格密码】最近平面算法解决CVP问题（2）（完结篇）
forest_LL的博客
01-10 1301
比如我们想要描述一个 m 维的 q-ary 格， 我们必须构建一个m维的矩阵才能够清楚得把这个 m 维格的具体结构表达出来， 这需要非常大的空间， 从而影响了基于格的数字签名走向实用化。相似的， 格上的数字签名方案的安全性都可以规约到格上的困难问题， 目前， 已经证明了格上许多困难问题是。给定n个线性独立的向量，把它们转化成n个正交的向量，这个过程就是线性代数中所谓的Gram-Schmidt正交化过程。注意向量正交化已经把格基改的面目全非，正交化后的格基已经不能形成原来的格点，看上面那张图就很清楚了。
Lattices and Cryptography（格理论与密码学）
qq_33458986的博客
02-24 4114
本文是阅读 Introduction of Mathematical Cryptography Second Edition 一书中关于格密码一章的Review，只讲述简单的总结，具体内容请翻阅该书的第七章（下文中大部分图片均来自此书） 同余密码体系与背包密码 同余(Congruence)密码 可以看做一个低维的格密码，破解该种密码可以相当于找一个向量，这个向量就是私钥 将上面这个问题用向量的形...
21、低维格基约化算法的深入研究
最新发布
ss78901的博客
07-19 7
本文深入研究了低维格的基约化问题，提出了贪心约化算法，并对其在不同维度下的性质和复杂度进行了详细分析。贪心算法是高斯算法在高维情况下的推广，能够在二维至四维情况下以二次时间复杂度计算出Minkowski约化基。通过研究低维格的几何性质，尤其是Voronoï胞和Voronoï向量的特性，为算法的复杂度分析提供了理论依据。然而，在五维及以上维度，贪心算法面临挑战，未来的研究方向包括探索新的约化策略、深入研究高维Voronoï结构以及优化现有算法以拓展其应用领域。
【格密码】最近平面算法解决CVP问题（1）
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05-21 2510
在1986年，L.Babai曾提出最近平面算法来解决CVP问题，利用n代表格的秩，该算法的输出近似值如下：CVP问题的六种变式，如下：当时，后三种问题就与前三种一样了。如果解决了计算问题，由于计算、优化和Gap问题三者困难性一样，那么剩下的优化和Gap问题也就可以解决了。最近平面算法可以解决计算CVP问题，且此时，为了简化分析的思路，后续仅仅讨论，通过修改算法相关的参数也可以达到想要的近似值。简单的取整算法就是把给定向量的系数全部直接取整（可以是上取整，也可以是下取整），概算法得到的格点与格基的选择有很大关
格理论的基础知识
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12-01 6761
格理论的基础知识 文章目录格理论的基础知识（一）对格的整体认识1.直观认识2.历史简述3.密码学与格理论（1）格在密码学上的运用（2）研究价值（二）从数学角度定义格1.数学定义2.格的生成3.格的基本区域（重要）（1）数学定义（2）几何理解（三）重要概念（仅列举，后单独更）1.格的行列式：基础区域的面积2.连续极小：格L中的最短非零向量3.Gram-Schmit正交化（线性代数）4.Minkowski定理5.可证明安全6.困难性问题 （一）对格的整体认识 1.直观认识 物理意义：高维空间中排列规律的点阵
[密码学]格密码学（3）-Babai算法以及GGH公钥密码体制介绍
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格密码LLL算法：如何解决最短向量SVP问题（1）
forest_LL的博客
03-26 7510
前言 在本节中，提出一个解决最短向量（SVP）问题的算法。在1982年，此算法由A.K.Lenstra，H.W.Lenstra,Jr和L.lovasz提出，通常称之为LLL算法。 在1801年，Gauss曾给出一个解决二维空间的SVP算法。某种意义上，LLL算法可以看成解决多维空间SVP问题的算法。在1987年，Schnorr改进过LLL算法，将计算复杂性改进到。 一. LLL算法的应用 1. 在整数和有理数的范畴分解多项式，例如将分解成和。 2. 找到多项式方程足够精确的代数解，例如的输出解
解锁密码学的奥秘
Galaxytraveller的博客
10-15 284
要解开这种锁，你不仅需要知道正确的数字，还要知道他们在这个多维空间中的位置, 由于组合的可能性近乎无穷，即使是拥有超强计算力的量子”魔法师”也难以破解这个数字组合，使得它在保障数据安全性上具有独特的优势。首先我们要理解什么是向量。在几何学和物理学中，向量通常用箭头来表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。例如，我们可以考虑一个五维向量空间，其中的向量可以表示为 (x1, x2, x3, x4, x5) 的形式，这个五维向量空间不容易在现实世界中直观地表示，因为它涉及到五个独立的数值分量。
格密码的基础概念（2）
forest_LL的博客
03-20 2361
前言 本节主要讨论闵可夫斯基提出的关于连续最小值的上界问题。为了简化分析过程，主要讨论满秩的格，将结果类推到非满秩的格也是同理可得。 一. BLICHFELD理论 对于任意满秩格和集合，满足,存在。满足。如下图所示： 证明： 将S平移到基本区中，若，则存在重合点。具体分析思路如下： ...
lattice cryptography基础——格密码学前置知识
爱学习的米斯特儿江的博客
04-16 3470
这是Simons 2020 年格密码讲座 Lattices: Algorithms, Complexity, and Cryptography Boot Camp 的第 1 讲，所述内容。 主要是格密码的一些前置基本知识，并且对后面要讲的格密码学做个一个启发式。 本篇为学习记录+个人笔记。内容主要包含格的定义和一些基本量，基本困难问题、归约、对偶格以及对后面讲格密码的一些铺垫延伸式问题。
格密码基础（2）-计算性困难问题
CCCYYY090的博客
04-11 3121
格密码基础（2）-计算性困难问题 ​ 这里写的关于格理论的困难问题主要是针对密码学介绍的。上次写到，现代密码学方案大都是基于某个困难问题研究的，最终方案的安全性也被规约到困难问题的安全性上去。 ​ 格密码系统的另一个优势就是平均情况下的困难性可以规约到最坏情况下的困难性，在密码系统中我们希望的是任何情况下系统都是安全的，所以平均情况下的安全性是我们想要的。[Ajtai96]给出了最坏情况困难性与平均情况困难性的连接，对于这个重要的结论，我个人的理解是“如果最坏情况下问题是困难的，
格密码教程（六）：高斯二维格规约，解决SVP问题
qq_41359358的博客
08-28 1107
前面文章也看到了好的基对算法结果有很大影响，在2维格中寻找最优基的算法基本上来源于高斯的原因。基本的想法是从一个基向量中交替减去另一个基向量的倍数，直到不可能进一步改进。 假设L⊂R2L⊂R^2L⊂R2是一个具有基向量v1v_1v1​和v2v_2v2​的二维格。我们要求∥v1∥<∥v2∥\left \|v_1\right \|<\left \| v_2\right \|∥v1​∥<∥v2​∥,当v1,v2v_1,v_2v1​,v2​长度不满足要求时，交换v1v_1v1​和v2v_2v2​。
格密码LLL算法：如何解决最短向量SVP问题（2）
forest_LL的博客
03-29 3699
一. 约化基 令为约化基，可得。当时，结论可化简为。 证明：
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