qq_41359358的博客

将GFp延伸为有pm个元素的域，称之为GFp的，表示为GFpmGFp是GFpm的子集。GFpm元素个数为pm。例如GF2是GF2m的一个子域。在扩域中存在一个特殊元素a，其满足a2m−11。这意味着任何幂次超过2m−1都可以被将次小于2m−1。GF2m可以表示为0a1a1...a2m−2。

二、群中每一个元素存在唯一的逆元。（比如矩阵），这里只是写法表示。三、消去律：对任意三个元素。由群的定义知，对任一元素。由群的定义知，存在元素。所以只有唯一的单位元。

只是一个符号表示，它可以是数的加法，乘法；是一个非空集合，如果集合上定义的代数运算。整数集合加法运算满足封闭性；上的加法构成群，该群称为。首先需要满足二元运算的。

"是集合的两个二元运算，如果对于集合中的任意三个元素。上的加法运算是一个二元运算，但减法不是二元运算。"是集合的二元运算，如果对于集合中的任意三个元素。"是集合的二元运算，如果对于集合中的任意两个元素。上的加法、乘法运算满足分配律和结合律。上的加法运算是一个二元运算。上的二元运算（代数运算）。"在该集合上满足结合律。"在该集合上满足交换律。上的乘法对加法满足分配律。在该集合上满足分配律。

对于两两互素的正整数。，所以是方程组的解。

我们把整个剩余类看成同余方程的一个解。不同于且是同余方程的解时，我们把它看作同余方程不同的解。因为一次同余方程有解，所以。为整系数多项书，将含有变量。是同余方程的解，那么剩余类。，所以存在唯一逆元使得。称为同余方程的次数。

的元素(最小非负即约剩余系)为。两个即约剩余系的乘积分别为。中存在元素相等，那么有。即约剩余系乘积相等。，则即约剩余系表示为。

定理：设正整数m，给定一个整数r∈Zm​，若gcdrm1，那么存在逆元k∈Zm​使得rk1modm。krm证：已经介绍过gcdabaxby。那么rxmy1，因此有rx1modm。所以x模m后便是r的逆元。示例：求11mod26的逆元：利用262∗114112∗4341∗31因此：14−1∗3=4−11−2∗4)=3∗4−。

从定理可以扩展得到：对于互素的正整数。互素的元素构成的集合称为。是两个互素的正整数，如果。证明思路和前一章思路类似。的公因数，与已知矛盾。

中的所有元素两两不同余。利用反证法，假设存在两个元素同余，那么。就是从上述所有剩余类取最小非负的数。就同余了，余已知条件矛盾。除以2等于乘以2的逆元。，后面将详细讲这一点。是一个完全剩余系，那么。同样也两两不同余即可。在上一章中我们求了模。

一、例子对于全体整数Z:=...−2−1012...。如果我们对其做模m运算会得到什么？假设m3。...0−3mod3−1∗301−2mod3−1∗312−1mod3−1∗3200mod30∗3011mod30∗3122mod30∗3203mod31∗30...大家发现没有，所有Z中的整数做mod3后结果都在012。

同余的概念很简单：给定三个整数。证明：这三点全部用概念证明就行。性质5可扩展到多个模数。

我就不计算了，直接乘起来合并就得到了。前一章里面我们已经证明了对任意的整数。时，根据整除性质知道。性质：对于不为0的数。

次带余除法，使得最后的余数为0，而第。通过上述辗转相除法，可得。每一步都能反推，最后得到。

为不全为0的整数，其公倍数中最小的。由最小公倍数最小性可知。

后面将继续更新数论。,存在唯一的一对整数。

（注意：最大公因数一定不是负数。的公因数中最大的哪个就叫做最大公因数，记作。后面将继续更新数论。的公因数必然小于等于。

后面将继续更新数论基础。