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1、非对称加密是一个概率性算法，加密时输入公钥，消息和随机数生成密文。2、对称加密是一个确定性加密。加密时输入消息和公钥，生成对应的密文。

读者可以尝试一下进行推导，论文还有常数长度的方案改进，感兴趣的读者可以去阅读原文，我就不再继续更新了。分别计算下面两个pairing，出现了我们期望的部分。但是他们还包含很多杂项。有需要论文知道、审稿，申博资料准备，答辩等的可以私信。因此prover产生argument。

是秘密值的承诺，思路和前面文章的argument一样。有需要论文知道、审稿，申博资料准备，答辩等的可以私信。六、Product Argument 乘积证明。，我们需要给出证据argument (，那么多项式可以变成下图所示。不就是上一章里面公共字符串的划分嘛！),这些证据是关于承诺值并且要证明。有相同的系数，因此便能完成证明。给定三个承诺，三个承诺之间满足。最后，prover不仅需要证明。，来消除所有其他项，只留下。成立，他还需要证明他知道。，那么上述等式就只剩。来证明他知道秘密值。

有需要论文知道、审稿，申博资料准备，答辩等的可以私信；。

有需要论文知道、审稿，申博资料准备，答辩等的可以私信零知识证明一见。输入pGGT​eggx..gxqgβgβx...gβxj−1gβxj...gβxq，求解出gβxj的概率为0.

一句话来说，零知识证明就是想实现：证明者能向验证者证明它拥有某些知识，但是不想让验证者获得该知识。：只要证明者正确地知道某一statement，那么就能让验证者相信自己知道该statement。任何恶意证明者都不能以虚假statement欺骗验证者接受该statement。证明者在向验证者提供证明的过程中不泄漏任何除statement正确性之外的信息。:任何承诺方都不能将已有的承诺值 Open 成不同的内容，即接收方可以确信。为知识承诺，因为证明者在不“知道”所承诺的值的情况下，不能做出有效的承诺。

所以dtot32(0.4)初始化Torus变量。

T满足加法交换群（阿贝尔群），乘法定义了外积（T中元素和整数群中元素做乘法）但未定义内积（T中元素做乘法）。反例：$a=2/5，b=4/5，c=1/3. $的集合（数模1运算）。具体见一下篇文章代码介绍。当我们值保留3位小数位数时。本文用T表示Torus。如果T是一个环，那么满足。,比特精度取64或32。\phi$是比特精度。

默认已经成功安装TFHE库，如果没安装可以看。

【代码】TFHE示例代码注释。

3.主要会出现两个错误：没有fftw和googletest。本文主要关注于TFHE的安装与常见的问题。TFHE可能存在以下的报错，关注。

TFHE报错C++ versions less than C++14 are not supported.3.打开CMAKELists.txt。4.在文件中添加以下两条命令。2.找到并进入src文件夹。安装TFHE遇见以下报错。1.进入TFHE文件夹。

CKKS的创新点与难点在于数据编码。CKKS支持实数和负数的计算，能直接应用于机器学习中。三、文中采用坐标随机取整的方法，进行映射。同时为了保证数据精度，取整前会先对数据乘上。我们想做的就是将消息编码到明文空间中，将明文解码到消息空间。感觉我们已经完成了数据编码：收到。，因此CKKS的消息空间只在。那我们定义一个新的空间。，想求解出一个多项式。

介绍了基础算法RSA得完整运算过程并举实例运算

秘密共享：凑齐K个人，可以构造方程组，一共K个未知数，K个方程可以解得秘密D。不经意传输：所以协议交互后，发送者并不知道接收者是否接受了该信息。接收者确切知道自己是否接受数据，从而保护接受者的隐私。这个基础上上产生了变种模型：1-out-2等发送者发送m0,m1两个信息，bob发送thita=0或1.发送者得不到有效的信息，bob只能获得对应的信息。这是半诚实的，如果双方有人作假这个结果就不是可信的。混淆电路同态加密...

注：需要有密码学基础才能看懂，全文以N=21举例基础推导：假设模数N=p⋅qN=p\cdot qN=p⋅q 。p和q是两个不同的奇素数，N是一个Blum Integer(参考链接)。举例N=21(p=3,q=7).ZN∗Z_N^{*}ZN∗​是他的简化剩余系。则ZN∗Z_N^{*}ZN∗​含有(p−1)⋅(q−1)(p-1)\cdot (q-1)(p−1)⋅(q−1)个元素(原理：欧拉函数).N=21,ϕ(N)=2∗6=12,ZN∗={1,2,4,5,8,10,11,13,16,17,19,20}.N

定义：Blum Integer是一个半素数(半素数是指两个素数的乘积)，设N是Blum Integer，N=P⋅QN=P\cdot QN=P⋅Q。且P和Q都是满足3=x(mod4)3=x(mod4)3=x(mod4)的，即P和Q均可表示为4t+3（t为整数）的形式4t+3（t为整数）的形式4t+3（t为整数）的形式注意：由于这两个因子都是半素数的条件，偶数不能是Blum整数，20以下的数也不能是Blum整数，当需要找Blum Integer时，我们只需要检查大于20的奇数整数是否是Blum整数。下面举

推导公式M=C0⋅e(C2,D2)∖e(C1,D1)M=C0 \cdot e(C2,D2) \setminus e(C1,D1) M=C0⋅e(C2,D2)∖e(C1,D1)C0=M⋅ZsC0=M \cdot Z^{s} C0=M⋅ZsC1=gsC1=g^{s}C1=gsC2=(h0∏j∈S⋃Ωhj)sC2=(h0 \prod_{j \in S \bigcup \Omega}^{}h_j)^{s}C2=(h0j∈S⋃Ω∏​hj​)sD1=∏i∈A′⋃Ω(ai∏i∈S⋃Ω,j≠i(ci,j))Δi,