本文归纳总结了含指数函数的不定积分方法，包括复合函数的凑微分法、指数函数与其他初等函数乘积的分部积分法，以及特定形式的推导公式。并介绍了含指数函数的定积分在Γ分布中的应用。
本篇博客参照了河北大学数计学院时坚所著的《含指数函数的不定积分方法归纳》，并在其基础上做了拓展。
不定积分为数学分析中一类重要的内容，其积分技巧和方法在几百年来一步步得到深入研究和探索。而含指数函数的不定积分为积分学中一大类重要积分，其积分方法多种多样，活灵活现，现将其归纳如下：
一、被积函数为复合函数，且该复合函数的内函数为指数函数时，利用该指数函数作为过渡，再利用凑微分法即可。
- 例1.1： ∫11+exdx\int \frac{1}{1+e^{x}} d x∫1+ex1dx
解：
∫11+exdx=∫exdxex(1+ex)=∫dexex(1+ex)=∫(1ex−11+ex)dex=x−ln(1+ex)+C \begin{aligned} \int \frac{1}{1+e^{x}} d x &=\int \frac{e^{x} d x}{e^{x}\left(1+e^{x}\right)}=\int \frac{d e^{x}}{e^{x}\left(1+e^{x}\right)} \\ &=\int\left(\frac{1}{e^{x}}-\frac{1}{1+e^{x}}\right) d e^{x}=x-\ln \left(1+e^{x}\right)+C \end{aligned} ∫1+ex1dx=∫ex(1+ex)exdx=∫ex(1+ex)dex=∫(ex1−1+ex1)dex=x−ln(1+ex)+C
- 例1.2 ：∫exex+e−xdx\int \frac{e^{x}}{e^{x}+e^{-x}} d x∫ex+e−xexdx
解：
∫exex+e−xdx=∫e2xe2x+1dx=12∫de2xe2x+1=12ln(1+e2x)+C\int \frac{e^{x}}{e^{x}+e^{-x}} d x=\int \frac{e^{2 x}}{e^{2 x}+1} d x=\frac{1}{2} \int \frac{d e^{2 x}}{e^{2 x}+1}=\frac{1}{2} \ln \left(1+e^{2 x}\right)+C∫e<
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