含指数函数的不定积分方法归纳

本篇博客参照了河北大学数计学院时坚所著的《含指数函数的不定积分方法归纳》，并在其基础上做了拓展。

不定积分为数学分析中一类重要的内容，其积分技巧和方法在几百年来一步步得到深入研究和探索。而含指数函数的不定积分为积分学中一大类重要积分，其积分方法多种多样，活灵活现，现将其归纳如下：

一、被积函数为复合函数，且该复合函数的内函数为指数函数时，利用该指数函数作为过渡，再利用凑微分法即可。

• 例1.1： $\int \frac{1}{1+e^x}dx$

解：
$$\begin{array}{rl}\int \frac{1}{1+e^x}dx& =\int \frac{e^{x}dx}{e^x\left(1+e^x\right)}=\int \frac{d{e}^x}{e^x\left(1+e^x\right)}\\ & =\int \left(\frac{1}{e^x}-\frac{1}{1+e^x}\right)d{e}^x=x-\ln \left(1+e^x\right)+C\end{array}$$

• 例1.2 ：$\int \frac{e^x}{e^x+e^{-x}}dx$

解：
$$\int \frac{e^x}{e^x+e^{-x}}dx=\int \frac{e^{2x}}{e^{2x}+1}dx=\frac{1}{2}\int \frac{d{e}^{2x}}{e^{2x}+1}=\frac{1}{2}\ln \left(1+e^{2x}\right)+C$$

以上两个例子说明，对于复合函数中内函数为指数函数的分部积分，主要是凑出指数函数的形式，继而进行进一步的求解。

二、当被积函数为指数函数和其它初等函数的乘积时，可用分部积分法。

• 例2：$\int x{e}^{x}dx$

解：
$$\int x{e}^{x}dx=\int xd{e}^x=x{e}^x-\int e^{x}dx=x{e}^x-e^x+C$$

事实上，对于这样的情形，无论是指数函数和幂函
数，抑或是指数函数和三角函数，还是和其它初等函数，都采用分部积分法。这些分部积分方法在一般的数学分析教材中可常见。值得注意的是，在含有指数函数和其它函数乘积的分部积分的过程中，对于常用的分部积分公式$\int u{v}^{\prime }dx=\int udv=uv-\int vdu=uv-\int v{u}^{\prime }dx$，一般令 $v$ 为指数函数。

三、当被积函数可化为某可导函数及其导函数之和与指数函数的乘机时，可用下面的推导公式。

$$\int \left[f(x)+f^{\prime }(x)\right]e^{x}dx=\int {\left[e^{x}f(x)\right]}^{\prime }dx=e^{x}f(x)+C(\ast )$$

• 例3.1：$\int \frac{x{e}^x}{(1+x{)}^2}dx$

解：

$$\begin{array}{rl}\int \frac{x{e}^x}{(1+x{)}^2}dx& =\int \left[\frac{1}{1+x}-\frac{1}{(1+x{)}^2}\right]e^{x}dx\\ & =\int \left[\frac{1}{1+x}+{\left(\frac{1}{1+x}\right)}^{\prime }\right]e^{x}dx=\frac{e^x}{1+x}+C\end{array}$$

• 例3.2：$\int e^{2x}(\tan x+1{)}^{2}dx$

解：

$$\begin{array}{rl}\int e^{2x}(\tan x+1{)}^{2}dx& =\int e^{2x}\left({\sec }^{2}x+2\tan x\right)dx\\ & =\int \left[e^{2x}(\tan x{)}^{\prime }+{\left(e^{2x}\right)}^{\prime }\tan x\right]dx\\ & =e^{2x}\tan x+C\end{array}$$

例3.2 说明公式$(\ast )$可有以下更广泛的推广：

$$\int \left[\alpha f(x)+f^{\prime }(x)\right]e^{\alpha x}dx=\int {\left[e^{\alpha x}f(x)\right]}^{\prime }dx=e^{\alpha x}f(x)+C(\ast \ast )$$

对于这种情况，主要是拆分和指数函数相乘的那个函数，将被积函数中除去指数函数的部分，拆成某可导函数及其导函数之和的形式，然后利用公式$(\ast \ast )$，即可进行较为方便的不定积分的求解。

综述

综合以上三种情况，可以将含指数函数的不定积分的三种形式归纳如下：

• 首先，当被积函数为指数函数的复合函数时，可考虑凑微分法；
• 其次，当被积函数为指数函数和其它初等函数的乘积时，可考虑采用分部积分法，通过分部积分公式进行求解；
• 最后，当被积函数为指数函数和某可导函数及其导函数之和的乘积时，可考虑公式$(\ast )$和$(\ast \ast )$，采用这种有一定技巧的积分方法。

补充

形如
$${\int }_0^{+\infty }{x}^{\alpha }{e}^{-\beta x}dx$$
的定积分有更加简便的方法。仔细观察可以发现，被积函数为$\Gamma$分布的核函数。可能有读者不了解$\Gamma$分布，我在这里简单讲解一下。

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对$X$~$\Gamma (\alpha ,\beta )$，其概率密度函数为：

$$f(x,\alpha ,\beta )=\frac{{\beta }^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}\cdot x^{\alpha -1}\cdot e^{-\beta x},x>0$$

$\Gamma (x)$为伽马函数。需要注意的是，随机变量$X$的定义域为$[0,+\infty )$，因此只有积分区间为$[0,+\infty )$的积分才可以使用该简便方法。

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了解了$\Gamma$分布，现在开始算积分：

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{+\infty }{x}^{\alpha }{e}^{-\beta x}dx& =\frac{\Gamma (\alpha +1)}{{\beta }^{\alpha +1}}{\int }_0^{+\infty }\frac{{\beta }^{\alpha +1}}{\Gamma (\alpha +1)}\cdot x^{\alpha }{e}^{-\beta x}dx=\frac{\Gamma (\alpha +1)}{{\beta }^{\alpha +1}}\end{array}$$

如果熟练的话其实直接就可以得到积分为$\Gamma$分布的系数的倒数。