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原创 角度信道模型

虽然在 SISO 系统中天线数量有限，角度信息不像 MIMO 系统那样起决定性作用，但在某些场景下（如存在角度相关的衰落特性），可以进一步考虑角度对复增益的影响，例如将复增益表示为。这些例子展示了角度信道模型中用离开角、到达角以及每条路径的复增益来参数化的具体应用和数学表达，通过这些参数可以更精确地描述和分析无线信道的特性。以一个简单的窄带MIMO信道模型为例，假设发射端有(N_t)根天线，接收端有(N_r)根天线，信道可以表示为。，可以实现高精度的波束赋形和预编码，提高系统的频谱效率和链路可靠性。

原创 量化噪声介绍

量化噪声eqte_q(t)eq​t定义为模拟信号xatx_a(t)xa​t的采样值xanTsx_a(nT_s)xa​nTs​与量化后的数字信号xqnTsx_q(nT_s)xq​nTs​eqtxanTs−xqnTseq​txa​nTs​−xq​nTs​其中TsT_sTs​为采样周期，nnn为采样点序号。量化噪声是平稳的随机过程。

原创 香农公式：通信世界的基石(定义、证明、性质、列子详解)

香农公式（Shannon’s Formula）描述了在给定带宽和信噪比条件下，一个通信信道能够无差错传输的最大数据速率，即信道容量。CBlog⁡21SNCBlog2​1NS​CCC：信道容量（单位：比特/秒，bps）BBB：信道带宽（单位：赫兹，Hz）SSS：信号功率NNN：噪声功率SNNS​：信噪比（SNR）带宽和信噪比。香农公式以其简洁的形式揭示了通信系统的本质规律。它告诉我们，在有限的带宽和噪声环境下，如何最大化信息传输的效率。

原创 第四章：Matlab 数据处理与分析

本章介绍了 MATLAB 的数据处理与分析功能，包括数据的导入与导出、数据预处理、数据统计分析等。通过代码示例，您可以学习如何使用不同的函数处理和分析数据，并从中提取有价值的信息。在接下来的章节中，我们将学习 MATLAB 的其他功能，例如图像处理、信号处理、优化等。持续更新中！

原创 第三章：Matlab 绘图功能

本章介绍了 MATLAB 的绘图功能，包括二维绘图、三维绘图以及图形保存与导出。通过代码示例，您可以学习如何使用不同的函数绘制各种图形，并设置图形的属性和标注。在接下来的章节中，我们将学习 MATLAB 的其他功能，例如文件操作、符号计算、图像处理等。持续更新中！

原创 第二章：Matlab 编程基础

使用function关键字定义函数，并指定函数名、输入参数和输出参数。使用函数名和输入参数调用函数。注意函数调用要在同一路径下新建立函数文件% 定义函数end% 调用函数% 输出: 8。

原创 第一章：Matlab 基础入门

本章介绍了 MATLAB 的基本数据类型和基本运算，这是学习 MATLAB 的基础。通过代码示例，您可以更好地理解这些概念并将其应用到实际问题中。在接下来的章节中，我们将学习更高级的 MATLAB 功能，例如流程控制、函数、数据可视化等。持续更新中！

原创 天线阵列引导向量

Nθaθ)N×1dλθnφn​−2πλd​n−1sinθn12⋯Naθ1e−jφ1​e−jφ2​⋯e−jφN−1​Tj−1​d2λ​θφn​−2πλd​n−1sinθ−πn−1sinθθ30∘a30∘)n1φ1​01n2φ2​−π2−1sin30∘−2π​e−j2π​n3φ3​−π3−1。

原创 伪逆介绍以及在信道估计与均衡中的应用

在通信系统中，信号经过信道传输后会发生失真。例如在一个多输入多输出（MIMO）通信系统中，设发送信号向量为。，需要进行信道估计和均衡。在最小二乘意义下，我们可以通过求伪逆来得到一个估计的均衡器。假设我们已经对信道矩阵。进行了估计（通过训练序列等方法），当。，它们之间的关系可以表示为。

原创 Bussgang方法

这只是一个简单的示例，实际应用中的Bussgang算法可能会涉及更复杂的信道模型、信号处理和优化策略。

原创 矩母函数（MGF）

矩母函数（Moment Generating Function，MGF）是概率统计中描述随机变量分布特征的重要工具。MGF的主要用途是通过导数来计算随机变量的矩（比如均值、方差等），同时它也能帮助确定随机变量的分布。对于随机变量XXX，其矩母函数MXtM_X(t)MX​tMXtEetX∫−∞∞etxfXxdxMX​tEetX∫−∞∞​etxfX​xdxttt是实数；

原创 保密中断概率（SOP）、非零保密容量的概率（PNSC）和平均保密速率（ASR）

原创 Fisher-Snedecor 分布

原创 齐次泊松点过程

原创 独立非同分布（i.n.i.d.）指数随机变量的和的概率密度函数 (PDF)

**指数衰减项 \(e^{-\frac{x}{\lambda_k}}\)**：它表明了 \(S\) 的概率密度随着 \(x\) 的增大而衰减的方式，具体由 \(k\) 对应的速率参数决定。- **分母项 \(\lambda_j - \lambda_k\)**：这个项确保了每个部分概率密度函数是以独特的方式加权，使得整体概率密度函数反映了所有不同速率参数的影响。这里，\(\lambda_k\) 是每个 \(X_k\) 的速率参数。我们需要求和 \(S\) 的概率密度函数 \(f_S(x)\)。

原创 Meijer‘s G 函数

Bessel函数: \( J_\nu(z) = G_{0,2}^{1,0} \left( \frac{z^2}{4} \ \bigg| \begin{array}{c} - \\ \frac{\nu}{2}, -\frac{\nu}{2} \end{array} \right) \)- Gamma函数: \( \Gamma(z) = G_{0,1}^{1,0} \left( z \ \bigg| \begin{array}{c} - \\ 0 \end{array} \right) \)

原创 Gauss超几何函数详细介绍

( (a)_n \) 是升阶乘（Pochhammer符号），定义为 \( (a)_n = a(a+1)(a+2)\dots(a+n-1) \)，对于 \( n = 0 \)，\( (a)_0 = 1 \)。Gauss超几何函数是更广泛的超几何函数的一部分，其他超几何函数包括合流超几何函数（Kummer函数）和广义超几何函数（pFq函数）。\( a \)、\( b \)、\( c \) 是任意的复数，\( z \) 是变量，通常在复数域中取值。其中，\( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。

原创 Euler-Gauss 极限

是一个在数学分析中涉及无穷级数和极限概念的定理。Euler-Gauss 极限的研究旨在确定在某些条件下，这样的级数是否收敛，以及它们的和是什么。- **超几何级数**：Euler-Gauss 极限能够帮助研究一些复杂的超几何级数的收敛性，这些级数在许多数学和物理学问题中出现。- **渐近分析**：Euler-Gauss 极限在处理渐近级数时特别有用，尤其是当直接计算级数和是不可行的情况下。- **特殊函数**：许多特殊函数，如贝塞尔函数和勒让德多项式，涉及Euler-Gauss 极限的概念。

原创 复高斯分布的模平方服从非中心卡方分布

已知 \( X \sim \mathcal{N}(\mu_X, \sigma^2) \) 和 \( Y \sim \mathcal{N}(\mu_Y, \sigma^2) \)，那么 \( X^2 + Y^2 \) 的分布为非中心卡方分布。其中，\( X \) 和 \( Y \) 是服从均值为 \( \mu_X \) 和 \( \mu_Y \)，方差为 \( \sigma^2 \) 的实高斯分布的独立随机变量。假设 \( Z \) 是一个复随机变量，且 \( Z \) 服从复高斯分布。

原创 Nakagami衰落——详细介绍

这种现象被称为衰落。根据传播环境的不同，衰落可以表现为瑞利衰落、莱斯衰落或Nakagami衰落等。1. 移动通信：Nakagami模型适用于复杂的移动通信环境，特别是在城市环境中，建筑物和其他障碍物引起的多径传播可能导致m参数在0.5到2之间变化。2. 无线传感器网络：在无线传感器网络中，不同传感器之间的信道可以表现出不同的衰落特性，Nakagami衰落模型可以灵活地适应这些不同的环境。3. 卫星通信：在卫星通信中，信号可能通过不同的路径传播到接收端，Nakagami衰落模型可以描述不同路径下的衰落特性。

原创 鲁棒性（Robustness）介绍

鲁棒性是Robust的音译，意味着健壮和强壮。它特指系统在异常和危险情况下生存的能力。

原创 OFDM详细介绍

OFDM的核心思想是将整个可用的频带划分为多个子载波，并在这些子载波上并行传输数据。无线信道中存在多径效应、干扰等问题，但由于OFDM的设计，正交子载波之间不会相互干扰，加上循环前缀的保护，即使信号受到反射、衰减等影响，接收端仍然能够较好地恢复原始数据。它通过将高数据率信号分成多个较低数据率的子信号，每个子信号通过不同的载波频率传输，从而提高数据传输的可靠性和抗干扰能力。这是原始信号的一部分重复，它可以防止多径效应引起的符号间干扰（ISI），提高接收端信号的解调性能。你的路由器通过Wi-Fi传输视频数据。

原创 复高斯随机变量的模平方服从伽马分布

我们知道，具有自由度 \( k \) 的卡方分布可以看作是伽马分布 \( \text{Gamma}(\alpha, \beta) \) 的特例，其中 \(\alpha = \frac{k}{2}\) 且 \(\beta = 2\)。其中 \( X \) 和 \( Y \) 是独立同分布的实值高斯随机变量，且均服从均值为零、方差为 \(\sigma^2\) 的正态分布，即 \( X, Y \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2) \)。

原创 拉普拉斯逆变换和矩生成函数（MGF）之间的关系

这个公式表明，我们可以通过对 \( M_X(s) \) 除以 \( s \) 然后进行拉普拉斯逆变换，得到随机变量 \( X \) 的累积分布函数 \( F_X(x) \)。（1）首先，我们知道 \( M_X(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f_X(t) \, dt \)。- \( M_X(s) = \mathbb{E}[e^{sX}] \) 是随机变量 \( X \) 的矩生成函数（MGF）。其中 \( f_X(t) \) 是 \( X \) 的概率密度函数 (PDF)。

原创 最大比率合并（Maximum Ratio Combining)(MRC）

权重通常设定为信道增益的复共轭，即 \(\mathbf{w}_i = \mathbf{h}_i^*\)，其中 \(\mathbf{h}_i\) 是第 \(i\) 个信道的增益。其中 \(h_i\) 是第 \(i\) 条信道的增益，\(s\) 是发射信号，\(n_i\) 是第 \(i\) 个天线接收到的噪声。信号接收：接收端拥有多个天线，每个天线接收相同的信号，但由于不同的路径损耗、衰落和噪声的影响，每个天线接收的信号可能有所不同。信号合并：将所有加权后的信号相加，得到最终的输出信号。

原创 蒙特卡罗模拟

2. 生成随机样本：在单位正方形 \([0, 1] \times [0, 1]\) 中生成随机点 \((x_i, y_i)\)。\[ \pi \approx 4 \cdot \frac{\text{圆内点数}}{\text{总点数}} \]然后，建立相应的数学模型。3. 计算输出：检查每个点是否在单位圆内，即判断 \( x_i^2 + y_i^2 \leq 1 \)。例如，对于积分问题，计算 \( f(x_i) \)。4. 统计分析：对所有样本的输出结果进行统计分析，以估计系统的整体行为或问题的解。

原创 Zotero笔记导出为PDF的方法

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原创 准静态平坦衰落信道（Quasi-Static Flat Fading Channel）

由于噪声的存在，接收信号会在 \( h \cdot x(t) \) 的基础上加上一些随机扰动。在准静态平坦衰落信道中，信道增益 \( h \) 可以被视为在短时间内（例如一个符号周期或几个符号周期内）保持不变。假设在当前符号周期内，信道增益 \( h \) = 0.8 + 0.6j，且噪声 \( n(t) \) 是均值为0、方差为0.01的复数高斯白噪声。- 莱斯衰落信道：假设多径信号中有一条直达路径，信道增益 \( h \) 服从莱斯分布。- \( h \) 是信道增益，表示信道的复数增益系数。

原创 非中心卡方分布的矩生成函数

3. MGF 的形式：对于标准的中心卡方分布，其 MGF 为 \( M(t) = (1 - 2t)^{-\frac{k}{2}} \)。1. 定义：设 \( X \sim \chi^2(k, \lambda) \)，即 \( X \) 服从非中心卡方分布。这里的 \( k \) 和 \( \lambda \) 分别是非中心卡方分布的自由度和非中心参数。要证明图片中的内容，我们可以逐步展开说明。这里的 \( \nu \)、\( \sigma_1^2 \) 和 \( \sigma_2^2 \) 是参数。

原创 伽马函数的极点及相关性质

每个极点的留数可以通过公式 \(\text{Res}(\Gamma(z), z = -n) = \frac{(-1)^n}{n!首先，我们知道伽马函数 \(\Gamma(z)\) 在非正整数点（即 \(0, -1, -2, -3, \ldots\)）处具有简单极点。\[ \Gamma(z) \sim \frac{-1}{z + 1} \quad \text{当 } z \to -1 \]这意味着 \(\Gamma(z)\) 的值可以通过 \(\Gamma(z+1)\) 的值递推得到。

原创 erf 和 erfc 函数介绍以及在通信系统中的应用

2. 互补误差函数 \( \text{erfc}(1.5) \approx 0.034 \) 表示从1.5到无穷大的范围内标准正态分布的累积概率约为0.034。1. 误差函数 \( \text{erf}(1.5) \approx 0.966 \) 表示从0到1.5的范围内标准正态分布的累积概率约为0.966。计算 \( \text{erf}(1.5) \) 和 \( \text{erfc}(1.5) \)，并解释其含义。这些函数的计算和解释在许多统计和概率问题中非常有用，尤其是在评估置信区间和假设检验时。

原创 H变换理论

对于整数 \( m, n, p, q \) ，满足 \( 0 \leq m \leq q \), \( 0 \leq n \leq p \)，对于 \( a_i, b_j \in \mathbb{C} \) ，复数集合，并且对 \( \alpha_i, \beta_j \in \mathbb{R}_+ = (0, \infty) \) ( \( i = 1, 2, \cdots, p;其中 \( \log|z| \) 表示 \( |z| \) 的自然对数，且 \( \arg z \) 不一定是主要值。

原创 chatgpt中的公式复制到word的方法(超实用！)

一、首先复制chatgpt里面的公式二、粘贴在下面网站网站：Mathpix Accounts三、利用网站中的word导出我们就导出了word形式如果对您有帮助请点个免费的赞！

原创 复高斯分布和CN(0,1)详细解释

对于复高斯分布 \( \text{CN}(0,1) \) 的复数随机变量 \( Z = X + jY \)，其中 \( X \) 和 \( Y \) 分别是实部和虚部，实部 \( X \) 和虚部 \( Y \) 都服从均值为 0、方差为 0.5 的独立实高斯分布。其中 \( \sigma_{XX} \) 和 \( \sigma_{YY} \) 是 \( X \) 和 \( Y \) 的方差，\( \sigma_{XY} \) 和 \( \sigma_{YX} \) 是它们的协方差。

原创 瑞利衰落（Rayleigh Fading）

在无线通信中，信号从发射天线到接收天线的路径不仅有直射路径，还会有由于环境中的反射、散射和折射等产生的多个路径。瑞利衰落的核心特征是接收信号的幅度服从瑞利分布。假设信号的幅度是由多个独立的路径信号叠加而成的，每条路径的信号幅度符合独立同分布的高斯分布，那么接收信号的幅度将遵循瑞利分布。通过这些步骤，设计师可以评估无线通信系统在瑞利衰落环境下的性能，并采取相应的设计优化措施来提高系统的可靠性和效率。信道容量计算：在瑞利衰落的环境下，计算信道容量，并比较不同系统设计（如MIMO系统）对信道容量的提升。

原创 采用量化相位的Ris辅助通信的保密中断概率和平均速率(部分公式推导)

原创 安全分集阶数、阵列增益和速率缩放

在MIMO系统中，通过协调多个天线同时发射相同的信号，可以增强接收端的信号强度，从而提升合法用户的信道质量。阵列增益能够提升接收信号的质量，从而提高通信系统的保密性能。在一个多天线系统中，通过增加发射端和接收端的天线数量，可以增加独立的信道路径，从而提升安全分集阶数。例如，在多天线系统中，通过增加发射天线或接收天线数量，可以增加信道的独立路径，从而提升系统的抗干扰和抗窃听能力。在安全通信中，阵列增益通过提升信噪比（SNR）来提高合法用户的信道容量，同时相对降低窃听者信道的信噪比，从而提升保密容量。

原创 指数积分函数（Exponential Integral Function）

指数积分函数在很多数学软件中都有内置函数，如Mathematica, MATLAB, Python的SciPy库等，都可以直接调用来计算 \( \text{Ei}(x) \)。其中 \( x \) 可以是实数或复数。换句话说，\( \text{Ei}(x) \) 是从 \(-x\) 到无穷大 \( \infty \) 的积分。- 对于正值 \( x \)，\(\text{Ei}(x)\) 是单调递增的。- 对于负值 \( x \)，\(\text{Ei}(x)\) 是单调递减的。

原创 香农定理公式和综合考虑的链路容量公式

2. 使用香农定理计算基础容量：\( C = 20 \times 10^6 \log_2(1 + 1000) \approx 20 \times 10^6 \times 9.97 \approx 199.4 \text{Mbps} \)。为了计算链路容量的期望值，我们假设信噪比 \( \frac{S}{N} \) 是一个随机变量 \(Y_d\) ，具有概率密度函数 \( f_{Y_d}(y) \)。- \(\mathbb{E}\{C_d\}\) 表示链路遍历容量 \(C_d\) 的期望值。

原创 累积密度函数（Cumulative Density Function，CDF）

当 \(x \to +\infty\) 时，\(F_X(x) \to 1\)。假设有一个连续型随机变量 \(Y\) 服从均匀分布 \(U(a, b)\)，其中 \(a = 0\)，\(b = 1\)。右连续性：CDF是右连续函数，即对于任意 \(x\)，有 \(\lim_{x \to x_0^+} F_X(x) = F_X(x_0)\)。非递减性：CDF是一个非递减函数，即对于任意的 \(x_1 < x_2\)，有 \(F_X(x_1) \leq F_X(x_2)\)。