动态规划解导弹拦截问题

动态规划解导弹拦截问题

题目描述

某国为了防御敌国的导弹袭击，发展出一种导弹拦截系统。但是这种导弹拦截系统有一个缺陷：虽然它的第一发炮弹能够到达任意的高度，但是以后每一发炮弹都不能高于前一发的高度。某天，雷达捕捉到敌国的导弹来袭。由于该系统还在试用阶段，所以只有一套系统，因此有可能不能拦截所有的导弹。

输入导弹依次飞来的高度（雷达给出的高度数据是≤50000的正整数），计算这套系统最多能拦截多少导弹，如果要拦截所有导弹最少要配备多少套这种导弹拦截系统。

输入格式

1行，若干个整数（个数≤100000）

输出格式

2行，每行一个整数，第一个数字表示这套系统最多能拦截多少导弹，第二个数字表示如果要拦截所有导弹最少要配备多少套这种导弹拦截系统。

输入输出样例

输入 #1

389 207 155 300 299 170 158 65

输出 #1

6
2

解题思路

最多能拦截多少导弹，其实就是求最长不上升子序列的长度。用f[i]表示拦截到第i个导弹时最多拦截的导弹数。当j<i时，如果j的高度大于等于i，那就枚举1<=j<i的j导弹，选取f大的作为后继，所以状态转移方程就可以写成f[i]=max(f[i],f[j]+1)。

第二问则用到狄尔沃斯定理，这个定理正经描述起来比较繁琐，用通俗的话来讲，就是把一个序列划分成最少的最长不上升子序列的个数就等于这个序列的最长上升子序列的长度。所以第二问最少系统个数就等于导弹高度的最长上升子序列的长度。与第一问类似只要改一下判定条件即可。

具体看代码注释。

完整代码

第一种，常规解法，可得100分

#include <iostream>
using namespace std;
int a[100000],f[100000],g[100000]; 
//a[]存导弹高度，f[i]表示拦截到第 i个导弹时最多拦截的导弹数 ,g[i]表示到第 i个导弹时高度不下降的最大导弹数 
int max1=0,min2=0;//第一问的最大值，第二问的最小值 
int main()
  {
   
   
   int n=1;
   while(cin>>a[n])
  	 {
   
   
       n++;
	 }
   for(int i=1;i<n;i++)
     {
   
   
       f[i]=1;