背包问题总结

最新推荐文章于 2025-11-03 15:19:19 发布

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本文深入解析背包问题的各种类型，包括01背包、多重背包、完全背包等，详细介绍了基础版和滚动数组版的实现方式，并提供了求解方案数的方法。适合初学者理解和记忆，同时也为进阶者提供优化思路。

打了一盘模拟赛，发现自己把背包忘得差不多了，特于此总结并备忘PS

PS：每种模型分别给出基础版和滚动数组版，前者用于理解，后者用于记忆和运用

一：基础背包模型

1. 01背包

for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=m;j++)
        if(j>=v[i]）
            dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-v[i]]+w[i]);
        else
            dp[i][j]=dp[i-1][j];

滚动数组（从后往前推，防止覆盖）

for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=m;j>=v[i];j--)
        dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);

2. 多重背包

（注意k从0开始）

for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=m;j++)
        for(int k=0;k<=s[i];k++)
        if(j>=v[i]*K）
            dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-v[i]*K]+w[i]*K);
        else
            dp[i][j]=dp[i-1][j];

滚动数组（k从1开始）

for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=m;j>=1;j--)
        for(int k=1;k<=s[i];k++)
            dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]*k]+w[i]*k);

超时，考虑离散化优化：

int x,y,z,t=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
    cin>>x>>y>>z;
    while(s>=t)
    {
        v[++n1]=x*t;
        w[n1]=y*t;
        s-=t;
        t=t*2;
    }
    v[++n1]=x*s;
    w[n1]=y*s;
}

然后按01背包写，注意离散后v数组大小变成了n1

或者使用另一种技巧（较复杂，不建议）

cin>>n>>v;
for(i=1;i<=n;i++)
{
    cin>>m>>w>>s; 
    if(m*w>=v)//判断是否可以为完全背包解决 
    {
        nc++;
        wc[nc]=w;
        sc[nc]=s;
    }
    if(m*w<v)//判断是否可以为0/1背包解决 
    {
        n0++;
        w0[n0]=w;
        s0[n0]=s;
        m0[n0]=m;
    }
}
for(i=1;i<=n0;i++)//解决0/1背包的部分 
    for(k=1;k<=m0[i];k++)
        for(j=v;j>=w0[i];j--)
            if(dp[j]<dp[j-w0[i]]+s0[i])
                dp[j]=dp[j-w0[i]]+s0[i];
for(i=1;i<=nc;i++)//解决完全背包的部分 
    for(j=wc[i];j<=v;j++)
        if(dp[j]<dp[j-wc[i]]+sc[i])
            dp[j]=dp[j-wc[i]]+sc[i];

3. 完全背包

for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=m;j++)
        if(j>=v[i])
            dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-v[i]]+w[i]);
        else
            dp[i][j]=dp[i-1][j];

滚动数组

for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=v[i];j<=m;j++)
        dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);

二：求方案数

此类问题大多数恰好装满背包

这里给出具有代表性的完全背包类，其他的都差不多，很容易举一反三

for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=m;j++)
        if(j>=v[i])
            dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-v[i]];
        else 
            dp[i][j]=dp[i-1][j];

滚动数组

for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=v[i];j<=m;j++)
        dp[j]=dp[j]+dp[j-v[i]];

待更新......