五猴分桃问题的数学解

上篇博客(https://fanglin.blog.youkuaiyun.com/article/details/119173258)中谈到了五猴分桃问题：

有5只猴子上山去摘桃，一直摘到天黑。5只猴子把所有的桃子放在一起，然后约定第二天一早来分桃。第二天早晨，来了一只猴子。他等了一会后心想：不如干脆我把桃子分了吧。于是他把桃子分成了五等份，分完后发现多了一只桃子。他想：我这么辛苦把桃子分了，这多出的一只桃子理应归我！于是他吃了这只桃子，然后带上一等份桃子，走了！过了一会，第二只猴子来了。他也等了一会。不耐烦之后也把桃子分成了五等份，也发现多一只桃子。他同样吃了那桃子之后也带走了一等份桃子。后来，第三、第四、第五只猴子都是先五等分桃子，然后吃掉多出来的一个桃，最后再带走一等份桃子。问最初一共有多少只桃子？

这个问题除了计算机解之外，还有数学解析解。本文讨论这个问题。

既然每个猴子都要分5的倍数+1个桃子，那么你不妨先借给第一只猴子Tom4个桃子。这样，它就可以均分这些桃子了。假设原有5k+1个桃子，加上你借给Tom的4个，就是5k+5个桃子。五等份这些桃子后，每份有k+1个桃子。于是Tom可以拿走一等份也就是k+1个桃子。

有意思的是，在原先的方案中5k+1个桃子五等份之后每份k个桃子，多出的1个桃子被Tom吃掉，所以Tom也是连吃带拿走k+1个桃子。现在你借给它4个桃子后，Tom并没有多占桃子。

这意味着什么？意味着你借给Tom的4个桃子又被借给了第二只猴子Peter。同样的道理，Peter也没有多拿多占桃子，那4个桃子又被借给了第三只、第四只、第五只猴子。所以，每只猴子都能五等份桃子，最终的结果是，原来的桃子数量一定是的倍数，即，n=1, 2, ...。减去你事先借给它们的4个桃子，所以桃子总数应该是：

特别的，当n=1时，桃子总数是个。

以此类推，我们可以得出这样的结论6猴分桃问题的解是，P猴分桃问题的解是：