从傅立叶变换到奥运五环

从浑天仪说起

下图是中国汉代科学家张衡发明的浑天仪复制品。我们可以看到，它用若干嵌套的圆环来模拟天体的运行。让人吃惊的是，这种做法居然蕴含着非常深刻的数学原理。让我们从傅立叶变换说起。

傅立叶变换的本质

数学家们喜欢用简单的函数来拟合复杂的函数。比如微积分中著名的泰勒公式就是用多项式函数拟合任意一个函数。傅立叶变换则是用三角函数来拟合任意一个周期函数。离散傅立叶变换的本质就是用一系列的正弦（或者余弦）函数的和来拟合一个周期函数f(t)。公式如下：

        (1)

其中T是f(t)的周期，即f(t+T)=f(t)对任意t成立。和的周期是。因为频率等于周期的倒数，所以后两者的频率是f(t)的频率的k倍。这说明，我们在拟合任意一个周期函数时，只需要考虑整数倍频率的三角函数，而不需要考虑任意倍数频率的三角函数。

更进一步，我们能不能在正弦和余弦之间只保留一个呢？还真行，因为：

                (2)