机器人学—数学基础

矩阵与行列式

矩阵和行列式是线性代数中的两个基本概念，广泛应用于物理学、工程、计算机科学和数学等多个领域。它们在描述线性变换、求解线性方程组、分析几何性质等方面具有重要作用。

1. 矩阵

1.1 矩阵的定义

矩阵是一个由数值、变量或函数按行列排列形成的二维数组，通常表示为$A\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$，其中$m$ 是矩阵的行数，$n$ 是矩阵的列数。矩阵中的每个元素可以表示为$A_{ij}$，表示第$i$行第$j$ 列的元素。

例如，一个$3\times 2$的矩阵可以表示为：
$$A=\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\\ a_{31}& a_{32}\end{array}\right]$$

1.2 矩阵的运算

1. 矩阵加法和减法：
   两个相同维度的矩阵可以逐元素相加或相减：
   $$A+B=\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}+b_{11}& a_{12}+b_{12}\\ a_{21}+b_{21}& a_{22}+b_{22}\end{array}\right]$$

2. 标量乘法：
   将矩阵的每个元素乘以一个常数：
   $$kA=\left[\begin{array}{cc}k{a}_{11}& k{a}_{12}\\ k{a}_{21}& k{a}_{22}\end{array}\right]$$

3. 矩阵乘法：
   矩阵 $A$ 与矩阵$ B$ 的乘积$C=AB$定义为：
   $$C_{ij}=\sum _{k=1}^n{A}_{ik}{B}_{kj}$$
   要求矩阵 $A$的列数等于矩阵$ B$ 的行数。

4. 矩阵转置：
   矩阵$A$的转置$A^T$是通过将矩阵的行变为列来获得的：
   $$A^T=\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{21}\\ a_{12}& a_{22}\end{array}\right]$$

5. 单位矩阵：
   单位矩阵是一个对角线上元素为 1，其余元素为 0 的方阵，通常记为$I_n$，例如：
   $$I_2=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$$
   单位矩阵在矩阵乘法中起到类似“1”的作用。

6. 矩阵的逆：
   矩阵$A$的逆$A^{-1} $满足$A A^{-1} = A^{-1} A = I$。只有方阵（行数等于列数）且行列式不为零的矩阵才有逆矩阵。

2. 行列式

2.1 行列式的定义

行列式是方阵（即行数等于列数的矩阵）对应的一个数值。行列式 $\det (A)$或$|A|$是与矩阵相关的一个标量，表示矩阵的某些代数性质，如线性变换的缩放因子。行列式仅对方阵定义。

例如，$2\times 2$矩阵的行列式为：
$$\det (A)=\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=ad-bc$$

2.2 行列式的计算

对于一个 $n \times n $矩阵，行列式可以通过递归的方式定义（即按行或列展开，逐步拆解成更小的行列式）。

• $2\times 2$ 矩阵的行列式：
  对于矩阵 $A = \begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix} $，其行列式为：
  $$\det (A)=ad-bc$$

• $3\times 3$ 矩阵的行列式：
  对于矩阵 $ A = \begin{bmatrix} a & b & c \ d & e & f \ g & h & i \end{bmatrix} $，其行列式为：
  $$\det (A)=aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh$$
  这种方法称为拉普拉斯展开，可以扩展到更高维的方阵。

2.3 行列式的性质

1. 交换行或列会改变符号：如果交换行或列，行列式的符号会发生变化。
2. 零行或列的行列式为零：如果某一行或列全为零，则行列式为零。
3. 对角矩阵的行列式为对角元素的乘积：对于对角矩阵，其行列式等于所有对角线元素的乘积。
4. 可逆矩阵的行列式不为零：如果一个矩阵的行列式为零，则它是奇异的，不可逆。
5. 把矩阵中的某一行(列)的c倍加到另一行(列),行
   列式的值不变。
6. 矩阵的某一行(列)乘以c,行列式的值变为原来的c倍。

3. 矩阵与行列式的应用

• 解线性方程组：通过高斯消元法或克拉默法则，行列式可以用于解线性方程组。如果矩阵的行列式不为零，线性方程组有唯一解。

• 线性变换：在几何学中，矩阵常用于描述线性变换，行列式则描述变换对面积、体积的缩放比例。如果行列式为零，表示该变换使某些维度坍缩。

• 逆矩阵计算：矩阵的逆可以通过伴随矩阵和行列式来计算：
  $$A^{-1}=\frac{1}{\det (A)}\text{adj}(A)$$
  其中$\text{adj}(A)$ 是伴随矩阵。

4. 矩阵与行列式的区别和联系

• 定义不同：矩阵是一个多维数组，可以是任意大小的，但行列式只定义在方阵上。
• 用途不同：矩阵主要用于描述线性变换、线性方程组和向量变换，而行列式则用于判断矩阵的可逆性(是否满秩)、线性无关性和体积缩放等性质。
• 计算方式不同：矩阵的运算包括加法、乘法和转置等，而行列式是一个标量，可以通过递归展开或利用矩阵的特殊性质计算。

总结

• 矩阵是一个二维数组，用于表示线性变换和线性方程组的系数。矩阵有各种运算，包括加法、乘法、转置和求逆。
• 行列式是与方阵相关的一个标量，用于判断矩阵的可逆性、计算线性方程组的解和描述几何变换的体积变化。

二维矩阵变换-行列式

空间挤压，但面积保持不变。在二维矩阵中，翰烈士的意义：面积的缩放。

行列式为0意味着空间被压缩为一条直线、甚至是一个点。

三维矩阵变换-行列式

表示体积的变化。

行列式为0意味着空间被压缩为一个平面、一条直线、甚至是一个点。

矩阵的秩

任何矩阵$A_{mxn}$总可经过有限次初等行变化吧它变为行阶梯形，行阶梯矩阵中非零行的行数是唯一确定的，行数称为秩。

机器人学中的矩阵

机器人研究的是刚体，是空间立体的物体，所以是三维空间，但是不存在缩放的情况。

基底

1. 基底的定义

在 n 维向量空间 V 中，一个基底是一组线性无关的向量集合，且这些向量能够通过线性组合生成该空间中的所有向量。形式上，若向量空间 V 的维数为 n ，则基底由 n 个线性无关的向量 ${v_1, v_2, \dots, v_n} $ 组成，每个 $ v_i $ 是 V 中的向量。向量空间中的任意向量 $ v \in V $ 都可以表示为基向量的线性组合：
$$v=a_1{v}_1+a_2{v}_2+\cdots +a_n{v}_n$$
其中，$ a_1, a_2, \dots, a_n $ 是实数或复数系数。

2. 基底的条件

一个基底需要满足以下两个条件：

1. 线性无关性：基向量不能是其他基向量的线性组合。即对于基底 $ {v_1, v_2, \dots, v_n}$，如果存在一组系数$a_1, a_2, \dots, a_n$ 使得$ a_1 v_1 + a_2 v_2 + \dots + a_n v_n = 0$，则这些系数必须全为零：
   $$a_1=a_2=\cdots =a_n=0$$
   线性无关性确保了基向量之间的独立性。

2. 张成向量空间：基底中的向量能够通过线性组合生成向量空间中的任意向量。也就是说，基底可以“覆盖”整个向量空间。

3. 基底的表示

假设我们有一个 $ \mathbb{R}^3 $ 空间中的基底 $ {e_1, e_2, e_3} $，即：
$$e_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right],e_2=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right],e_3=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$$
这是${\mathbb{R}}^3$ 空间中的标准基底，每个向量都可以写成它们的线性组合：
$$v=a_1{e}_1+a_2{e}_2+a_3{e}_3=\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right]$$
在 ${\mathbb{R}}^n$中，标准基底通常是各个方向上的单位向量。

4. 标准正交基

一个内积空间的正交基(orthogonal basis)是元素两两正交的基。称基中的元素为基向量。若一个正交基的基向量的模长都是单位长度1,则称这正交基为标准正交基或"规范正交基"(Orthonormal basis)。

如果把一个正交方阵的列向量组,理解为空间中的一个单位直角坐标系。那么意味着该坐标系与原坐标系的相互位置关系,与原坐标系x轴y轴z轴正方向的相互关系是一致的。从而,一个适当的旋转就可以让原来的坐标系变成的列向量表示的坐标系,这恰好是这个正交矩阵所代表得线性变换。

正交矩阵

伴随矩阵

伴随矩阵（Adjugate Matrix）是与一个给定矩阵紧密相关的另一个矩阵，它在计算给定矩阵的逆矩阵时非常有用。对于一个$n\times n$的方阵$A$，其伴随矩阵记作$\text{adj}(A)$，它的每个元素是原矩阵对应位置的代数余子式（共轭子式）。
具体来说，伴随矩阵的第$i$行第$j$列的元素是原矩阵$A$中删除了第$i$行第$j$列之后剩下的$(n-1)\times (n-1)$子矩阵的行列式，再乘以$(-1{)}^{i+j}$。用数学符号表示，伴随矩阵的元素可以写作：
$$\text{adj}(A){)}_{ij}=(-1{)}^{i+j}\text{det}(A_{ij})$$
其中，$A_{ij}$是删除了矩阵$A$的第$i$行和第$j$列后剩下的子矩阵，而$\text{det}(A_{ij})$是这个子矩阵的行列式。
伴随矩阵的一个重要性质是它和原矩阵的行列式以及逆矩阵的关系：
$$A\cdot \text{adj}(A)=\text{det}(A)\cdot I_n$$

其中，$I_n$是$n$阶单位矩阵。如果$A$是非奇异的（即$\text{det}(A)\ne 0$），那么我们可以通过上述等式来计算$A$的逆矩阵：
$$A^{-1}=\frac{1}{\text{det}(A)}\text{adj}(A)$$
下面是计算一个$2\times 2$矩阵的伴随矩阵的例子：
假设矩阵$A$为：
$$A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$$

其伴随矩阵$\text{adj}(A)$为：
$$\text{adj}(A)=\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]$$

这里，每个元素是通过计算对应的代数余子式得到的。例如，$\text{adj}(A)$中的元素$d$是矩阵$A$删除第一行和第一列后剩下的$1\times 1$矩阵的行列式，即$d$；而元素$-b$是删除第一行和第二列后剩下的矩阵的行列式$1\times 1$乘以$(-1{)}^{1+2}=-1$，即$b$，以此类推。
对于更大的矩阵，计算伴随矩阵需要计算多个子矩阵的行列式，通常比较繁琐，因此在实际应用中，人们更倾向于使用数值计算软件来处理这类问题。

逆矩阵

逆矩阵是线性代数中的一个重要概念，它指的是一个矩阵与其逆矩阵相乘后等于单位矩阵。对于一个给定的$n\times n$方阵$A$，如果存在一个矩阵$B$，使得$AB=BA=I_n$，其中$I_n$是$n$阶单位矩阵，那么矩阵$B$就是的逆矩阵，记$A$作$A^{-1}$。
不是所有的矩阵都有逆矩阵，只有可逆矩阵或者说是非奇异的方阵才有逆矩阵。一个矩阵是非奇异的，当且仅$A$当它的行列式$\text{det}(A)\ne 0$。
计算一个矩阵的逆矩阵通常有以下几种方法：

1. 高斯-约当消元法：通过初等行变换将矩阵$A$转换为$I_n$，同时对单位矩阵进行相同的行变换，最终得到的矩阵就是( A )的逆矩阵。

2. 伴随矩阵法：首先计算矩阵$A$的伴随矩阵，$\text{adj}(A)$然后利用公式A${}^{-1}=\frac{1}{\text{det}(A)}\text{adj}(A)$计算逆矩阵。

3. 行列式法：直接利用逆矩阵的定义，通过解线性方程组来找到$A^{-1}$中的每个元素。
   以下是一个$2\times 2$矩阵的逆矩阵的例子：
   假设矩阵$A$为：
   $$A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$$

其逆矩阵$A^{-1}$为：
$$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]$$
前提是$ad-bc\ne 0$。
对于更大的矩阵，计算过程会更复杂，通常需要借助计算工具来进行。在实际应用中，逆矩阵常用于解决线性方程组、在变换中找到逆变换等。

导数与偏导数

就是曲线的斜率。

二元函数的偏导数是多元微积分中的一个基本概念。对于有两个自变量的函数$f(x,y)$，偏导数描述了当其中一个变量变化而另一个变量保持不变时，函数值的变化率。
二元函数$f(x,y)$有两个偏导数，分别是关于$x$的偏导数和关于$y$的偏导数。

1. 关于$x$的偏导数（记作$f_x$或$\frac{\partial f}{\partial x}$）：
   关于$x$的偏导数是在被$y$看作常量的情况下，函数$f$相对于$x$的导数。其定义如下：
   $$\frac{\partial f}{\partial x}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}$$
   如果这个极限存在，那么函数在点$(x,y)$处关于$x$是可偏导的。
2. 关于$y$的偏导数（记作$f_y$或$\frac{\partial f}{\partial y}$）：
   关于$y$的偏导数是在$x$被看作常量的情况下，函数$f$相对于$y$的导数。其定义如下：
   $$\frac{\partial f}{\partial y}=\underset{k\to 0}{\lim }\frac{f(x,y+k)-f(x,y)}{k}$$
   如果这个极限存在，那么函数在点$(x,y)$处关于$y$是可偏导的。
   以下是一个具体的例子：
   假设有函数$f(x,y)=x^{2}y+3x{y}^2$。

• 计算关于$x$的偏导数：
  $$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}(x^{2}y+3x{y}^2)=2xy+3y^2$$

  在这个计算过程中，我们把$y$看作常数。

• 计算关于$y$的偏导数：
  $$\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}(x^{2}y+3x{y}^2)=x^2+6xy$$
  在这个计算过程中，我们把$x$​看作常数。

全微分

全微分是微积分中的一个概念，用于描述多元函数在某一点附近的变化量。对于有两个或更多自变量的函数$f(x_1,x_2,\dots ,x_n)$，其全微分表示当自变量发生微小变化时，函数值的变化量。
设函数$f$在点$P(x_1,x_2,\dots ,x_n)$处可微，自变量$x_1,x_2,\dots ,x_n$分别有增量$\Delta x_1,\Delta x_2,\dots ,\Delta x_n$，那么函数$f$的全微分可以表示为：
$df=\frac{\partial f}{\partial x_1}\Delta x_1+\frac{\partial f}{\partial x_2}\Delta x_2+\cdots +\frac{\partial f}{\partial x_n}\Delta x_n$
其中，$\frac{\partial f}{\partial x_i}$是函数$f$关于$x_i$的偏导数。
更具体地，我们可以将全微分写成以下形式：
$df=f_1(x_1,x_2,\dots ,x_n)d{x}_1+f_2(x_1,x_2,\dots ,x_n)d{x}_2+\cdots +f_n(x_1,x_2,\dots ,x_n)d{x}_n$
这里的$f_i$是$f$关于$x_i$的偏导数，$d{x}_i$是对应自变量的微分。
全微分有几个重要的性质：

1. 线性性：全微分是自变量增量的线性函数。
2. 可加性：如果函数可以分解为两个或多个函数的和，那么其全微分等于各个函数全微分的和。
3. 乘积规则：对于两个可微函数的乘积，其全微分遵循乘积规则。
   以下是一个具体例子：
   假设有函数$f(x,y)=x^{2}y+3x{y}^2$，我们已经计算出其关于$x$和$y$的偏导数分别为：
   $f_x=2xy+3y^2$
   $f_y=x^2+6xy$
   那么在点$(x,y)$处，当$x$和$y$分别有增量$\Delta x$和$\Delta y$时，函数$f$的全微分为：
   $df=(2xy+3y^2)dx+(x^2+6xy)dy$
   这个表达式表示了在点附近，当$x$和$y$有$(x,y)$微小变化时，函数值$f$的变化量。

点乘和叉乘

叉乘（Cross Product）和点乘（Dot Product）是向量运算中两个不同的操作，它们在几何和物理学中有着不同的应用。以下是它们的主要区别：

1. 定义与结果

• 点乘（Dot Product）：
  点乘是两个向量的标量积，其结果是一个标量。点乘的结果与向量的方向无关，只与它们的大小及夹角有关。
  定义公式：

  $$\mathbf{A}\cdot \mathbf{B}=|\mathbf{A}||\mathbf{B}|\cos \theta$$

  其中，$\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 是两个向量，$|\mathbf{A}|$ 和 $|\mathbf{B}|$ 是它们的模，$\theta$ 是它们之间的夹角。

  结果是一个标量。

• 叉乘（Cross Product）：
  叉乘是两个向量的向量积，其结果是一个新的向量，且与原来的两个向量都垂直。叉乘的结果不仅与向量的大小有关，还与它们的方向有关。
  定义公式：

  $$\mathbf{A}\times \mathbf{B}=|\mathbf{A}||\mathbf{B}|\sin \theta \mathbf{n}$$

  其中，$\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 是两个向量，$\theta$ 是它们之间的夹角，$\mathbf{n}$ 是垂直于 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 所在平面的单位向量。

  结果是一个向量。

2. 几何意义

• 点乘：
  点乘的几何意义是反映两个向量的方向相同程度或投影关系。其结果是向量 $\mathbf{A}$ 在向量 $\mathbf{B}$ 方向上的投影长度乘以 $\mathbf{B}$ 的长度。

  • 若点乘结果为正数，则两个向量夹角小于 90°，即它们指向相同方向。
  • 若点乘结果为负数，则两个向量夹角大于 90°，即它们指向相反方向。
  • 若点乘结果为 0，则两个向量垂直。

• 叉乘：
  叉乘的几何意义是两个向量所组成的平行四边形的面积，且结果向量的方向与 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 垂直。

  • 叉乘结果的方向由右手定则确定：若将右手的四指从 $\mathbf{A}$ 的方向向 $\mathbf{B}$ 的方向卷曲，则大拇指指向叉乘结果的方向。
  • 若叉乘结果为零，则两个向量共线或其中一个向量为零。

3. 物理应用

• 点乘：
  点乘常用于计算力与位移的功、电场与磁场的通量等。
  例如，若一个物体在力 $\mathbf{F}$ 作用下沿位移 $\mathbf{d}$ 移动，功 $W$ 可以通过点乘计算：

  $$W=\mathbf{F}\cdot \mathbf{d}$$

• 叉乘：
  叉乘常用于计算力矩、角动量、磁场力等。
  例如，力矩 $\mathbf{T}$ 是力 $\mathbf{F}$ 相对于旋转轴的作用效果，其计算公式为：

  $$\mathbf{T}=\mathbf{r}\times \mathbf{F}$$
  其中，$\mathbf{r}$ 是力的作用点到旋转轴的位移向量。

4. 计算公式

• 点乘（二维或三维向量）：
  对于两个三维向量 $\mathbf{A}=(A_x,A_y,A_z)$ 和 $\mathbf{B}=(B_x,B_y,B_z)$，点乘的公式为：

  $$\mathbf{A}\cdot \mathbf{B}=A_x{B}_x+A_y{B}_y+A_z{B}_z$$

• 叉乘（三维向量）：
  对于两个三维向量 $\mathbf{A}=(A_x,A_y,A_z)$ 和 $\mathbf{B}=(B_x,B_y,B_z)$，叉乘的公式为：
  $$\mathbf{A}\times \mathbf{B}=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ A_x& A_y& A_z\\ B_x& B_y& B_z\end{array}\right|=(A_y{B}_z-A_z{B}_y)\mathbf{i}-(A_x{B}_z-A_z{B}_x)\mathbf{j}+(A_x{B}_y-A_y{B}_x)\mathbf{k}$$
  结果是一个向量，垂直于 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$。

5. 维度限制

• 点乘：适用于任意维度的向量。
• 叉乘：仅适用于三维向量（在特殊情况下可以推广到七维向量）。

总结

特性	点乘（Dot Product）	叉乘（Cross Product）
结果	标量（一个数值）	向量（一个新向量）
几何意义	两个向量的投影长度	两个向量形成的平行四边形的面积
应用	计算功、通量等	计算力矩、角动量等
维度	适用于任意维度	仅适用于三维（或七维）

这两种运算在物理和工程应用中有广泛的用途。