152. 乘积最大子数组

152. 乘积最大子数组

给你一个整数数组 nums ，请你找出数组中乘积最大的非空连续
子数组
（该子数组中至少包含一个数字），并返回该子数组所对应的乘积。

测试用例的答案是一个 32-位 整数。

示例 1:

输入: nums = [2,3,-2,4]
输出: 6
解释: 子数组 [2,3] 有最大乘积 6。

示例 2:

输入: nums = [-2,0,-1]
输出: 0
解释: 结果不能为 2, 因为 [-2,-1] 不是子数组。

解题思路

如果我们用 $f_{\text{max}}(i)$ 表示以第 ( i ) 个元素结尾的乘积最大子数组的乘积，$a$ 表示输入参数 $nums$，那么根据「53. 最大子序和」的经验，我们很容易推导出这样的状态转移方程：
$$f_{\text{max}}(i)=\underset{n=1}{\overset{n-1}{\max }}f(i-1)\times a_i,a_i$$

它表示以第 $i$ 个元素结尾的乘积最大子数组的乘积可以考虑 $a_i$ 加入前面的 $f_{\text{max}}(i-1)$ 对应的一段，或者单独成为一段，这里两种情况下取最大值。求出所有的 $f_{\text{max}}(i)$ 之后选取最大值作为答案。

可是在这里，这样做是错误的。为什么呢？

因为这里的定义并不满足「最优子结构」。具体地讲，如果 a = { 5 , 6 , − 3 , 4 , − 3 } a = \{5, 6, -3, 4, -3\} a={5,6,−3,4,−3}，那么此时 $f_{\text{max}}$ 对应的序列是 { 5 , 30 , − 3 , 4 , − 3 } \{5, 30, -3, 4, -3\} {5,30,−3,4,−3}，按前面的算法我们可以得到答案为 30，前两个数的乘积，而实际上答案应该是全体数字的乘积。

我们来想一想问题出在哪里呢？问题出在最后一个 $-3$ 所对应的 $f_{\text{max}}$ 的值既不是 $-3$，也不是 $4\times -3$，而是 $5\times 30\times (-3)\times 4\times (-3)$。所以我们得到了一个结论：当前位置的最优解未必是由前一个位置的最优解转移得到的。

我们可以根据正负性进行分类讨论。

考虑当前的位置如果是一个负数的话，那么我们希望以它前一个位置结尾的某个段的积也是负数，这样就可以负负得正，并且得到这个积尽可能大（绝得多），即只要当前的位置是一个正数的的话，我们希望以它前一个位置结尾的某个段的积也是一个正数，并且希望尽可能大。于是这里我们可以再维护一个 $f_{\text{min}}(i)$，它表示以第 $i$ 个元素结尾的乘积最小子数组的乘积，那么我们可以得到这样的动态规划转移方程：

$$f_{\text{max}}(i)=\max (f_{\text{max}}(i-1)\times a_i,f_{\text{min}}(i-1)\times a_i,a_i)$$
$$f_{\text{min}}(i)=\min (f_{\text{max}}(i-1)\times a_i,f_{\text{min}}(i-1)\times a_i,a_i)$$

它代表第 $i$ 个元素结尾的乘积最大与最小子数组的乘积。我们可以考虑把 $a_i$ 加入第 $i-1$ 个元素结尾的乘积最大或最小的子数组中，一言加上 $a_i$，二言较大，就足能较大。第 $i$ 个元素结尾的乘积最大与最小子数组的乘积 $f_{\text{min}}(i)$ 同理。

def maxProduct(nums: List[int]) -> int:
	if not nums:
		return
	n = len(nums)
	min_dp = [0] * n
	max_dp = [0] * n
	min_dp[0] = max_dp[0] = nums[0]
	for i in range(1, n):
		max_dp[i] = max(nums[i], max_dp[i-1] * nums[i], min_dp[i-1] * nums[i])
		min_dp[i] = min(nums[i], max_dp[i-1] * nums[i], min_dp[i-1] * nums[i])
	return max(max_dp)