【UVa】【DP】12093 Protecting Zonk

最新推荐文章于 2020-08-17 19:34:04 发布

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#UVa #树形DP #复杂状态

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树形DP

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本文介绍了一道UVa在线评测系统中的算法题目UVa12093ProtectingZonk。通过树形动态规划的方法解决如何在树形结构中放置两种不同类型的机器以最小化成本的问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

UVa 12093 Protecting Zonk

题目

◇题目传送门◆（由于UVa较慢，这里提供一份vjudge的链接）
◇题目传送门（vjudge）◆

题目大意

有 $N$ 个节点构成一个树形结构的图。现有两种机器A，B。A的花费为 $C_1$ ，B的花费为 $C_2$ 。若在某个节点上放一个A机器，则与该节点相连的边被覆盖；若在某节点上放一个B机器，则与该节点相连的边及其相邻节点相连的边会被覆盖。求将所有边覆盖的最小花费。

思路

这是一棵无根树，显然我们要人为的给它一个根。所以我们以1为它的根。

于是这道题变成了很明显的树形DP。但是状态非常复杂。。。

定义状态：

$f[u][0]$ ： $u$ 不安装任何机器，且保证其与儿子相连得到边全部被儿子覆盖的最小花费；
$f[u][1]$ ：在 $u$ 安装一台A机器的最小花费；
$f[u][2]$ ：在 $u$ 安装一台B机器的最小花费；
$f[u][3]$ ： $u$ 及 $u$ 的儿子都不安装任何机器， $u$ 与其儿子的边全部被 $u$ 的父亲覆盖；

注意：在 $u$ 的儿子节点处安装一个B机器等同于在 $u$ 安装一个A机器

我们逐个来分析状态：

对于 $f[u][0]$ ，此时， $u$ 的儿子需要安装A机器或者B机器，则此状态转移到 $\min(f[v][1],f[v][2])$ （ $v$ 是 $u$ 的一个儿子）；

对于 $f[u][1]$ ，此时， $v$ 有三种选择：不安装、安装A机器、安装B机器，则此状态转移到 $\min(f[v][0],f[v][1],f[v][2])$ ；

注意此时我们仍需要将在 $u$ 安装A机器和在 $v$ 安装B机器的花费作比较！

对于 $f[u][2]$ ，此时， $v$ 有四种选择，则此状态转移到 $\min(f[v][0],f[v][1],f[v][2],f[v][3])$ ；

对于 $f[u][3]$ ，此时， $v$ 有三种选择：不安装、安装A机器、安装B机器，则此状态转移到 $\min(f[v][0],f[v][1],f[v][2])$

所以可列出状态转移方程：
$f[u][0]=\sum\min(f[v][1],f[v][2])\\f[u][1]=\sum\min(f[v][0],f[v][1],f[v][2])+\min(C_1,f[v][2]-\min(f[v][0],f[v][1],f[v][2]))\\f[u][2]=\sum\min(f[v][0],f[v][1],f[v][2],f[v][3])+C_2\\f[u][3]=\sum\min(f[v][0],f[v][1],f[v][2])$

其中， $v$ 是 $u$ 的儿子。

边界条件为： $f[u][0]=f[u][1]=0,f[u][1]=C_1,f[u][2]=C_2$ 。其中， $u$ 是叶子节点。

答案即为 $\min(f[1][0],f[1][1],f[1][2])$

正解代码

#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int Maxn=10000;
const int INF=0x7f7f7f7f;

struct Edge {
    int to;
    Edge *nxt;
}e[Maxn*2+5];
Edge *ecnt,*G[Maxn+5];
void AddEdge(int u,int v) {
    Edge *p=++ecnt;
    p->to=v;
    p->nxt=G[u],G[u]=p;
}
int N,C1,C2;
int f[Maxn+5][4];

void DFS(int u,int fa) {
    f[u][0]=f[u][1]=f[u][3]=0;
    f[u][2]=C2;
    int t=INF;
    for(Edge *p=G[u];p!=NULL;p=p->nxt) {
        int v=p->to;
        if(v==fa)continue;
        DFS(v,u);
        f[u][0]+=min(f[v][1],f[v][2]);
        int tmp=min(f[v][0],min(f[v][1],f[v][2]));
        f[u][1]+=tmp;
        f[u][2]+=min(tmp,f[v][3]);
        f[u][3]+=tmp;
        t=min(t,f[v][2]-tmp);
    }
    f[u][1]+=min(C1,t);
}

int main() {
    #ifdef LOACL
    freopen("in.txt","r",stdin);
    freopen("out.txt","w",stdout);
    #endif
    while(scanf("%d %d %d",&N,&C1,&C2)!=EOF&&N) {
        memset(f,0,sizeof f);
        memset(G,0,sizeof G);
        ecnt=&e[0];
        for(int i=1;i<N;i++) {
            int u,v;
            scanf("%d %d",&u,&v);
            AddEdge(u,v);
            AddEdge(v,u);
        }
        DFS(1,-1);
        printf("%d\n",min(min(f[1][0],f[1][1]),f[1][2]));
    }
    return 0;
}