乘法逆元详解【费马小定理+扩展欧几里得算法】

本文详细介绍了乘法逆元的概念及四种求解方法,包括费马小定理、扩展欧几里得算法、递推计算阶乘逆元及连续数逆元的方法,并提供了相应的编程实现。

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乘法逆元

何为乘法逆元?

对于两个数a,pa,pa,pgcd⁡(a,p)=1\gcd(a,p)=1gcd(a,p)=1则一定存在另一个数bbb,使得ab≡1(mod  p)ab\equiv1(\mod p)ab1(modp),并称此时的bbbaaa关于111ppp的乘法逆元。我们记此时的bbbinv(a)inv(a)inv(a)a−1a^{-1}a1

举个例子:5×3≡1(mod  14)5\times 3\equiv1(\mod 14)5×31(mod14),我们称此时的333555关于111141414的乘法逆元。

如何求乘法逆元?

方法一:费马小定理

费马小定理:当有两数a,pa,pa,p满足gcd⁡(a,p)=1\gcd(a,p)=1gcd(a,p)=1ppp是质数时,则有ap≡a(mod  p)a^{p}\equiv a(\mod p)apa(modp)

变一下形:a⋅ap−2≡1(mod  p)a\cdot a^{p-2}\equiv1(\mod p)aap21(modp)。是不是和上面的乘法逆元的定义是相似的?

所以,我们可以使用快速幂求出ap−2a^{p-2}ap2,即求出aaa的逆元。

方法二:扩展欧几里得算法

由定义可知:ab≡1(mod  p)ab\equiv 1(\mod p)ab1(modp),这个式子等价于已知a,pa,pa,p求一个二元一次不定方程ab=kp+1ab=kp+1ab=kp+1,移一下项得:ab−kp=1ab-kp=1abkp=1。这东西不是扩展欧几里得算法?

方法三:递推计算阶乘的逆元

当我们要计算一大串连续的阶乘的逆元时,采用费马小定理或扩展欧几里得算法就有可能超时,所以我们必须采用一个更快的算法。

fi=i!f_i=i!fi=i!,则可得:inv(fi+1)≡inv(fi⋅(i+1))(mod  p)inv(f_{i+1})\equiv inv(f_i\cdot (i+1))(\mod p)inv(fi+1)inv(fi(i+1))(modp)

我们将(i+1)(i+1)(i+1)乘过去,则有:inv(fi)≡inv(fi+1)⋅(i+1)(mod  p)inv(f_{i})\equiv inv(f_{i+1})\cdot(i+1)(\mod p)inv(fi)inv(fi+1)(i+1)(modp)

自然我们就得出递推式。

方法四:递推计算连续的数的逆元

当我们要计算连续的数的逆元时,我们可以采用以下递推式:inv(i)=(p−⌊pi⌋)×inv(pmod  i)mod  pinv(i)=(p-\lfloor\frac{p}{i}\rfloor)\times inv(p\mod i)\mod pinv(i)=(pip)×inv(pmodi)modp

UPD@2019.10.9:补上这个式子的证明

证明:设t=⌊pi⌋,k=pmod  it=\lfloor\frac{p}{i}\rfloor,k=p\mod it=ip,k=pmodi,那么显然有t×i+k≡0(mod  p)t\times i+k\equiv 0(\mod p)t×i+k0(modp)

变形可得−t×i≡k(mod  p)-t\times i\equiv k(\mod p)t×ik(modp)

两边同时除以ikikik得到−t×1k≡1i(mod  p)-t\times\frac{1}{k}\equiv\frac{1}{i}(\mod p)t×k1i1(modp)

inv(i)≡−t×inv(k)(mod  p)inv(i)\equiv-t\times inv(k)(\mod p)inv(i)t×inv(k)(modp)

所以有inv(i)=(p−⌊pi⌋)×inv(pmod  i)mod  pinv(i)=(p-\lfloor\frac{p}{i}\rfloor)\times inv(p\mod i)\mod pinv(i)=(pip)×inv(pmodi)modp

乘法逆元的作用?

我们由费马小定理可得:a⋅ap−2≡1(mod  p)a\cdot a^{p-2}\equiv 1(\mod p)aap21(modp)

所以:ap−2≡a−1≡1a(mod  p)a^{p-2}\equiv a^{-1}\equiv\frac{1}{a}(\mod p)ap2a1a1(modp)

我们又知道模运算的乘法结合律:ba≡b⋅a−1≡b⋅ap−2(mod  p)\frac{b}{a}\equiv b\cdot a^{-1}\equiv b\cdot a^{p-2}(\mod p)abba1bap2(modp)

所以我们可以知道:aaa除以一个数模ppp,等于aaa乘这个数的乘法逆元模ppp

编程实现

费马小定理:

long long PowMod(long long a,int b) {
	long long ret=1;
	while(b) {
		if(b&1)ret=ret*a%Mod;
		a=a*a%Mod;
		b>>=1;
	}
	return ret;
}

程序内调用PowMod(a,Mod-2)即可。

扩展欧几里得算法:

long long extend_gcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y) {
	if(a==0&&b==0)
		return -1ll;
	if(b==0)
	{
		x=1ll;
		y=0ll;
		return a;
	}
	long long d=extend_gcd(b,a%b,y,x);
	y-=a/b*x;
	return d;
}
long long mod_reverse(long long a,long long n) {
    long long x,y,d=extend_gcd(a,n,x,y);
    if(d==1) {
	    if(x%n<=0)return x%n+n;
		else return x%n;
	} else return -1ll;
}

递推计算阶乘的逆元:

f[0]=1;
for(int i=1;i<=N;i++)
	f[i]=f[i-1]*i%Mod;
inv[0]=1;
inv[N]=PowMod(f[N],Mod-2);
for(int i=N-1;i>0;i--)
	inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%Mod;

递推计算连续的数的逆元:

inv[1]=1;
for(int i=2;i<=N;i++)
	inv[i]=(Mod-Mod/i)*inv[Mod%i]%Mod;
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