乘法逆元详解【费马小定理+扩展欧几里得算法】

最新推荐文章于 2025-05-16 11:35:04 发布

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分类专栏： # 数论文章标签：乘法逆元数学

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本文详细介绍了乘法逆元的概念及四种求解方法，包括费马小定理、扩展欧几里得算法、递推计算阶乘逆元及连续数逆元的方法，并提供了相应的编程实现。

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乘法逆元

何为乘法逆元？

对于两个数 $a, p$ 若 $gcd⁡(a,p)=1\gcd(a,p)=1$ 则一定存在另一个数 $b$ ，使得 $p)ab\equiv1(\mod p)$ ，并称此时的 $b$ 为 $a$ 关于 $1$ 模 $p$ 的乘法逆元。我们记此时的 $b$ 为 $i n v (a)$ 或 $a^{-1}$ 。

举个例子： $14)5\times 3\equiv1(\mod 14)$ ，我们称此时的 $3$ 为 $5$ 关于 $1$ 模 $14$ 的乘法逆元。

如何求乘法逆元？

方法一：费马小定理

费马小定理：当有两数 $a, p$ 满足 $gcd⁡(a,p)=1\gcd(a,p)=1$ ， $p$ 是质数时，则有 $p)a^{p}\equiv a(\mod p)$ 。

变一下形： $p)a\cdot a^{p-2}\equiv1(\mod p)$ 。是不是和上面的乘法逆元的定义是相似的？

所以，我们可以使用快速幂求出 $a^{p-2}$ ，即求出 $a$ 的逆元。

方法二：扩展欧几里得算法

由定义可知： $p)ab\equiv 1(\mod p)$ ，这个式子等价于已知 $a, p$ 求一个二元一次不定方程 $a b = k p + 1$ ，移一下项得： $a b - k p = 1$ 。这东西不是扩展欧几里得算法？

方法三：递推计算阶乘的逆元

当我们要计算一大串连续的阶乘的逆元时，采用费马小定理或扩展欧几里得算法就有可能超时，所以我们必须采用一个更快的算法。

令 $f_i=i!$ ，则可得： $p)inv(f_{i+1})\equiv inv(f_i\cdot (i+1))(\mod p)$

我们将 $(i + 1)$ 乘过去，则有： $p)inv(f_{i})\equiv inv(f_{i+1})\cdot(i+1)(\mod p)$

自然我们就得出递推式。

方法四：递推计算连续的数的逆元

当我们要计算连续的数的逆元时，我们可以采用以下递推式： $pinv(i)=(p-\lfloor\frac{p}{i}\rfloor)\times inv(p\mod i)\mod p$

UPD@2019.10.9:补上这个式子的证明

证明：设 $it=\lfloor\frac{p}{i}\rfloor,k=p\mod i$ ，那么显然有 $p)t\times i+k\equiv 0(\mod p)$

变形可得 $p)-t\times i\equiv k(\mod p)$

两边同时除以 $i k$ 得到 $p)-t\times\frac{1}{k}\equiv\frac{1}{i}(\mod p)$

即 $p)inv(i)\equiv-t\times inv(k)(\mod p)$

所以有 $pinv(i)=(p-\lfloor\frac{p}{i}\rfloor)\times inv(p\mod i)\mod p$

乘法逆元的作用？

我们由费马小定理可得： $p)a\cdot a^{p-2}\equiv 1(\mod p)$ 。

所以： $p)a^{p-2}\equiv a^{-1}\equiv\frac{1}{a}(\mod p)$

我们又知道模运算的乘法结合律： $p)\frac{b}{a}\equiv b\cdot a^{-1}\equiv b\cdot a^{p-2}(\mod p)$

所以我们可以知道： $a$ 除以一个数模 $p$ ，等于 $a$ 乘这个数的乘法逆元模 $p$ 。

编程实现

费马小定理：

long long PowMod(long long a,int b) {
	long long ret=1;
	while(b) {
		if(b&1)ret=ret*a%Mod;
		a=a*a%Mod;
		b>>=1;
	}
	return ret;
}

程序内调用PowMod(a,Mod-2)即可。

扩展欧几里得算法：

long long extend_gcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y) {
	if(a==0&&b==0)
		return -1ll;
	if(b==0)
	{
		x=1ll;
		y=0ll;
		return a;
	}
	long long d=extend_gcd(b,a%b,y,x);
	y-=a/b*x;
	return d;
}
long long mod_reverse(long long a,long long n) {
    long long x,y,d=extend_gcd(a,n,x,y);
    if(d==1) {
	    if(x%n<=0)return x%n+n;
		else return x%n;
	} else return -1ll;
}

递推计算阶乘的逆元：

f[0]=1;
for(int i=1;i<=N;i++)
	f[i]=f[i-1]*i%Mod;
inv[0]=1;
inv[N]=PowMod(f[N],Mod-2);
for(int i=N-1;i>0;i--)
	inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%Mod;

递推计算连续的数的逆元：

inv[1]=1;
for(int i=2;i<=N;i++)
	inv[i]=(Mod-Mod/i)*inv[Mod%i]%Mod;