行列式和矩阵的性质总结

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本文详述了行列式的16条基本性质，包括行列式与其转置的关系、行列式值的变化规律、行列式的计算法则及矩阵的逆运算特性。深入解析了行列式在数学分析中的关键作用，如对角矩阵的逆矩阵计算方法。

1、行列式与其转置相等。
2、行列式对换任意两行（列），行列式变号。
3、如果行列式有两行（列）相等，则行列式等0。
4、如果行列式有两行（列）元素成比例，则行列式等0；行列式有全为0的行（列），则行列式等0。
5、行列式某一行（列）所有元素乘以k，则相当于行列式的值乘以k。
6、把行列式的某一行（列）乘以k然后加到另一行（列），行列式的值不变。
7、任何行列式都可以化为上三角形行列式或下三角形行列式。
8、行列式如果某行（列）中所有元除了(i,j)元其余都为0，则行列式等于这个(i,j)元与其代数余子式之积。
9、行列式等于它的任一行（列）的各元素与其代数余子式的乘积之和。
10、行列式的某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于0。
11、在这里插入图片描述
12、只有方阵才谈求逆矩阵；一个矩阵与其逆相乘满足交换律。
13、在这里插入图片描述
14、在这里插入图片描述
15、在这里插入图片描述
16、对角矩阵是方阵；如果对角线上的元素都不为0，则该对角阵可逆，且其逆矩阵也为对角阵，对角线上的元素为原对角矩阵对角线上元素的倒数。
17、

任意矩阵的行列式的定义和性质
02-18
任意矩阵的行列式的定义和性质，陈必红，，行列式对于线性代数的理论和计算都起到了重要作用。而现有的行列式是定义在方阵上的，非方阵的矩阵并没有好的行列式的定义。本文
行列式与矩阵的初等变换总结
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行列式 对nnn阶行列式，有以下5种变换： 转置后，值不变.即∣AT∣=∣A∣|A^T| = |A|∣AT∣=∣A∣. 某行有公因数kkk，可以把kkk提到行列式外. ∣kA∣=kn∣A∣|kA|=k^n|A|∣kA∣=kn∣A∣ 两行互换行列式变号. 某行所有元素都是两个数的和，则可写成两个行列式的和. ∣a1+b1a2+b2cc∣=∣a1a2cc∣+∣b1b2cc∣\left| \begin{matrix} a_1+b_1& a_2+b_2\\ c& c\\ \end{matrix}
线性代数 --- 矩阵行列式的性质
松下J27录放机
01-07 5886
矩阵的行列式是一个数，这个数能够反应一些关于矩阵的信息。行列式只对方阵有效。
线性代数知识点汇总
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09-24 1241
定义（柯西）柯西明确将行列式定义为n 阶方阵（由 n² 个元素构成的正方形阵列）的一个特定数值函数。设 n 阶方阵为：其中表示 “第 i 行第 j 列” 的元素（柯西首次规范了 “行 i 列 j” 的双重下标记法，沿用至今），则其行列式记为 det(A) 或 ∣A∣ ，是一个由所有通过特定规则计算得到的数值。行列式的本质（几何角度）从集合角度看，行列式的本质是“n维空间中“由方阵列（或行）向量张成的平行多面体的有向体积”，可拆解为两个核心维度：1. 绝对值：体积大小的量化。
矩阵行列式的性质
Lavi的专栏
09-09 5982
原文链接:矩阵行列式的性质
行列式与矩阵，运算与性质
weixin_43467525的博客
03-29 3124
行列式计算与性质、矩阵运算与性质
常用的行列式和矩阵的性质
画船听雨眠
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常用的行列式和矩阵的性质（持续更新中……）
矩阵分析-行列式
weixin_37410657的博客
05-15 3948
行列式是与方阵相关的一个数学概念，它是一个标量值，具有许多重要性质和应用。本文详细介绍了行列式的定义、性质和计算方法，以及克拉默法则求解线性方程组的原理和应用。行列式是线性代数中的一个重要概念，它在解析几何、微分方程、线性方程组求解等方面都有广泛的应用。克拉默法则是一种基于行列式的求解线性方程组的方法，适用于系数矩阵可逆的情况。掌握这些知识对于解决实际问题具有重要意义。
行列式与矩阵求逆究竟什么关系？
AI Agent 首席体验官
02-16 1592
AA−1A−1AIAA−1A−1AIA和A⁻¹的乘积顺序无关（交换性）结果等于单位矩阵I结构意义逆矩阵是代数结构中的逆元保证了线性变换的可逆性运算意义提供了线性方程组的解实现了线性变换的"撤销"空间意义保持了向量空间的维数维持了线性关系理论意义构成了矩阵群的基础是线性代数完备性的体现这些代数性质构成了矩阵逆的完整理论体系，是理解线性代数更深层概念的基础。
【数理基础】矩阵运算公式汇总（基本性质、迹、行列式、矩阵求导、特征向量）
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矩阵是机器学习应用的一种重要的数据结构，广泛应用于数据表示、特征提取、模型训练和数据处理等各个方面，许多机器学习算法都涉及到对数据进行矩阵运算操作。理解和熟练运用线性代数和矩阵操作对于机器学习算法的理解至关重要。因此在此博客中，汇总矩阵的基本性质以及一些常见的矩阵运算公式，以便在记忆出现模糊时查阅。
考研线性代数笔记：行列式与矩阵性质解析
总结来说，这篇考研线性代数笔记详尽地讲解了行列式的概念、性质、运算以及在解决线性方程组中的应用，对于考生理解和掌握线性代数的核心知识提供了有力的支持。通过深入学习和熟练运用这些知识点，考生可以有效地...
线性代数关键公式详解：行列式与矩阵性质
同时，矩阵的秩与行列式的性质密切相关，如非零特征值的存在和矩阵的可逆性。 5. 矩阵的定义和性质：可逆矩阵（非奇异矩阵）的特性包括秩等于n、行（列）向量组线性无关、线性方程组解的唯一性和齐次方程组的非零解...
行列式及其性质
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05-21 8752
行列式（determinant）是方阵的一个重要特征，常记作detA或者|A|，其包含了矩阵的很多重要信息。行列式为0，则矩阵不可逆，否则矩阵可逆，所以行列式可用来检验矩阵的可逆性。这篇文章主要介绍行列式的10个性质。 性质1：单位矩阵的行列式为1 性质2：如果交换矩阵的两行，则行列式的符号要取反。从这个性质我们可得出置换矩阵的行列式总是为1或-1，这取决于行交换的次数，行交换奇数次则为-1，...
MIT18.06线性代数课程笔记18：矩阵行列式的性质
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行列式是从矩阵中计算得到的一个标量。矩阵和行列式之间必然是多对一的关系，行列式不能完全代表矩阵，但其中蕴含着很多矩阵性质相关的信息。本节首先定义了矩阵行列式应该有的三个性质，然后从这三个性质推出了其他七个性质。
行列式有关性质
Tinuv的博客
05-28 6209
行列式的性质 行列式与它转置行列式相等 对换行列式的两行(列),行列式变号 推论:如果有两行(列)完全相同,则此行列式等于零 行列式的某一行(列)中所有元素都乘以数kkk,等于用数kkk乘此行列式 推论:行列式中某一行(列)的所有元素的公因子以提到行列式记号的外面 行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式等于零 若行列式中的某一行(列都是两数之和),例如第...
行列式的性质
forest_LL的博客
01-17 3657
因此，当阶数 n 很大时，计算量相当大．所以，在计算行列式的值时，往往不用行列式的表达式．而是针对所给的具体行列式的特点，利用行列式的基本性质，将行列式的值求出来．。可以想到，如果对角线处的元素出现了0，那么也就出现了0行向量，那么该矩阵的行列式即为0，也就是所有的奇异矩阵（singular matrices）的行列式均为0。交换该矩阵的行向量位置，其行列式是不变的，布尔代数理论（Boolean algebra）告诉我们是是要改变符号的，能满足该性质的数也只有0了。
线性代数之——行列式及其性质
seniusen的博客
11-26 2296
方阵的行列式是一个数字，这个数字包含了矩阵的大量信息。首先，它立即告诉了我们这个矩阵是否可逆。矩阵的行列式为零的话，矩阵就没有逆矩阵。当 AAA 可逆的时候，其逆矩阵 A−1A^{-1}A−1 的行列式为 1/det(A)1 / det(A)1/det(A)。 行列式可以用来求逆矩阵、计算主元和求解方程组，但是我们很少这样做，因为消元会更快。 对于上述矩阵，如果行列式 ad−bcad-bcad−...
行列式的计算与性质
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04-30 736
https://jingyan.baidu.com/article/ce09321b9177222bff858f30.html
线性代数矩阵论——行列式的一些性质推论及Cramer法则
weixin_34111790的博客
11-02 315
行列式的性质及推论 1. 对角行列式的值为主对角线上元素的乘积 2. 辅对角行列式的值 3. 上三角和下三角行列式的值为主对角线上元素的乘积 4. 若行列式的某一行（列）的元素皆为零，则行列式的值为零 5. 交换行列式两行（列）元素的位置，行列式反号 6. 若行列式有两行（列）元素相同，则行列式的值为零 7. 将行列式转置，行列式的值不变，即 8. 若行列式有两行（列）元素对应成比例，则行列式的...
行列式和矩阵关系
最新发布
10-10
<think>首先，用户的问题是：“我想了解行列式和矩阵的关系 请问行列式和矩阵的关系”。这是一个中文问题，询问行列式和矩阵之间的关系。 我有系统级指令： - 所有行内数学表达式使用$...$格式。 - 独立公式使用$$...$$格式并单独成段。 - LaTeX语法正确。 - 使用中文回答。 - 生成相关问题。 - 回答中引用的段落末尾自然地添加引用标识。 - 回答结构清晰，帮助用户逐步解决问题。 - 参考站内引用：引用[1]和引用[2]。 引用[1]讨论了矩阵与行列式的区别：矩阵是数表，行列式是数值；矩阵用括号表示，行列式用双竖线；矩阵行数和列数可以不同，行列式必须是方阵；运算上有差异，如数乘和加减法不同。 引用[2]是关于行列式、矩阵和向量组的，包括一个Python代码示例计算行列式。 用户的目标是理解行列式和矩阵的关系，所以我需要基于这些引用构建清晰的解释。 关键点从引用[1]： - 本质区别：矩阵是数表，行列式是数值（针对方阵）。 - 符号表示：矩阵用( )或[ ]，行列式用| |或|| ||。 - 结构：矩阵不一定是方阵，行列式必须是n阶方阵（即行数和列数相等）。 - 运算：数乘、加减法等不同。 关系： - 行列式是从方阵导出的一个数值。 - 行列式描述了矩阵的一些性质，如可逆性（如果行列式不为零，矩阵可逆）。 - 在引用[2]的代码中，展示了如何计算矩阵的行列式。 我的回答结构： 1. **介绍关系**：矩阵是一个矩形数组，行列式是一个函数应用到方阵上得到的数值。 2. **关键区别**：基于引用[1]概述区别。 3. **运算关系**：解释行列式如何从矩阵计算，以及它在矩阵运算中的作用（如求逆）。 4. **示例**：使用引用[2]的代码示例，但确保用LaTeX格式化数学部分。 5. **结论**：总结关系。 6. **生成相关问题**：在末尾添加相关问题。 使用中文回答。 数学格式化： - 行内表达式如矩阵使用$matrix$，行列式使用$det(A)$ 或 $|A|$。 - 独立公式如行列式定义使用$$...$$。 例如： - 行内：矩阵 $A$ 的行列式记为 $|A|$ 或 $\det(A)$。 - 独立：行列式的定义：对于一个 $n \times n$ 矩阵 $A = (a_{ij})$，行列式定义为 $$\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \operatorname{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)}$$ 但为了简洁，我可以简化定义。 从引用[2]，代码示例使用numpy计算行列式。我应该解释这个例子。 最终输出格式： - 内容用中文。 - 代码块用```包围。 - 相关问题以§§开头。 逐步回答： 1. 解释基本关系。 2. 对比区别。 3. 讨论如何从矩阵得到行列式。 4. 提供计算示例。 5. 总结。 6. 添加相关问题。 引用标识：在回答中，如果引用引文，末尾加[^1]或[^2]。例如，提到区别时加[^1]。 用户说“参考站内引用”，所以我应该整合这些引用。 </think>### 行列式与矩阵的关系 行列式和矩阵是线性代数中的两个核心概念，它们既有紧密联系又有本质区别。矩阵是一个矩形数组（数表），而行列式是从方阵（行数和列数相等的矩阵）计算出的一个数值。理解它们的关系有助于掌握矩阵运算的性质和几何意义。以下我将逐步解释这种关系，基于引用内容进行说明。 #### 1. **基本定义与联系** - **矩阵**：矩阵是一个 $m \times n$ 的数表（其中 $m$ 表示行数，$n$ 表示列数），用括号表示，例如 $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}$。它可以表示线性变换、方程组系数等。 - **行列式**：行列式是定义在方阵（$n \times n$ 矩阵）上的一个函数，输出一个数值，记为 $|A|$ 或 $\det(A)$。例如，对于一个 $2 \times 2$ 矩阵 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$，其行列式为 $|A| = ad - bc$。 - **关键关系**：行列式是从矩阵派生的值。只有当矩阵是方阵时，行列式才有定义。行列式描述了矩阵的某些特性，如： - 如果 $\det(A) \neq 0$，则矩阵 $A$ 可逆（即存在逆矩阵）。 - 行列式为零（$\det(A) = 0$）表示矩阵是奇异的（不可逆），这对应于线性变换将空间压缩到更低维度[^1]。 - 在几何上，行列式的绝对值表示矩阵对应线性变换的“缩放因子”（例如，面积或体积的变化率）。 #### 2. **主要区别**（基于引用[1]） 尽管行列式源于矩阵，但它们在本质、符号、结构和运算上存在显著差异： - **本质不同**：矩阵是一个数表（数据结构），而行列式是一个数值（从方阵计算出的标量）。例如，一个矩阵包含多个元素，而行列式是这些元素的组合函数结果[^1]。 - **符号表示**：矩阵用括号表示，如 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$；行列式用双竖线表示，如 $|A| = \left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix} \right|$。 - **结构要求**：矩阵的行数和列数可以不同（如 $2 \times 3$ 矩阵），但行列式只能应用于方阵（行数和列数相等的矩阵）。这意味着不是所有矩阵都有行列式[^1]。 - **运算差异**： - **数乘**：一个数 $k$ 乘以矩阵时，所有元素都乘以 $k$，即 $kA = \begin{pmatrix} ka_{11} & ka_{12} \\ ka_{21} & ka_{22} \end{pmatrix}$；但乘以行列式时，只乘一行或一列，例如 $k |A|$ 等价于 $\left| \begin{matrix} ka_{11} & a_{12} \\ ka_{21} & a_{22} \end{matrix} \right|$（乘以第一行）[^1]。 - **加减法**：矩阵加减要求同维度（对应元素相加减），如 $A + B$；而行列式相加减是数值相加减（不是元素级操作），如 $|A| + |B|$[^1]。 - **相等性**：两个矩阵相等需要对应元素和维度完全相同；两个行列式相等只需值相同，维度或元素可以不同（如 $|A| = |B|$ 不一定要求 $A$ 和 $B$ 同阶）[^1]。 #### 3. **如何从矩阵计算行列式** 行列式是通过特定公式从方阵的元素计算的。对于一个 $n \times n$ 矩阵 $A$，行列式定义为： $$ \det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \operatorname{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)} $$ 其中 $S_n$ 是置换群，$\operatorname{sgn}(\sigma)$ 是置换的符号。在实际应用中，常用递归方法或公式（如拉普拉斯展开）计算。 引用[2]提供了一个Python代码示例，使用NumPy库计算矩阵的行列式。这展示了行列式如何从矩阵导出： ```python import numpy as np # 定义一个3x3方阵 matrix = np.array([[1, 2, 3], [0, 1, 4], [5, 6, 0]]) print("Matrix:") print(matrix) # 计算行列式（数值） determinant = np.linalg.det(matrix) print("\nDeterminant of the matrix:") print(determinant) # 输出约为 -20.999999999999996（理论值为 -21） ``` 这段代码中，矩阵 `matrix` 是一个 $3 \times 3$ 方阵，行列式 $\det(A)$ 计算结果为一个数值（约 -21），验证了行列式是矩阵的导出属性[^2]。 #### 4. **应用中的关系** 行列式在矩阵运算中扮演关键角色： - **矩阵可逆性检验**：行列式非零是矩阵可逆的充要条件（即 $A^{-1}$ 存在当且仅当 $\det(A) \neq 0$）。 - **求解线性方程组**：克莱姆法则（Cramer's Rule）使用行列式求解方程组 $Ax = b$。 - **特征值和特征向量**：行列式用于定义特征方程 $\det(A - \lambda I) = 0$，其中 $\lambda$ 是特征值。 - **几何应用**：在计算机图形学中，行列式表示变换后的体积变化（如旋转或缩放）。 总之，矩阵是更广泛的数据结构，而行列式是方阵的“特征值”，揭示了矩阵的线性属性。理解它们的关系有助于深入学习线性变换和优化问题[^1][^2]。
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