行列式及其应用——行列式定义和性质-优快云博客

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2. 行列式的定义和记法

2.1 行列式的定义

3. 行列式的展开

3.1 行列式按一行元素和一列元素的展开(Cauchy展开式)

4. 行列式的属性

4.1 行列式的相应行变为相应列，行列式保持不变。

4.2 用任意一个标量乘以行列式等同于用此标量乘此行列式的任意一行(或一列)。

4.3 交换行列式的任意两个连续行(或列)等同于改变行列式的符号(由 + 及 - 或反之)。

4.4 行列式的任意一个元素都通过若干次交换行(或列)而带到左上角。

4.5 若一个行列式的两行或两列是相同的，则此行列式等于零。

4.6 如果行列式中任意一列(或一行)的所有元素都是二项式，则该行列式可以分解为两个行列式之和。

2. 行列式的定义和记法

2.1 行列式的定义

一个行列式(determinants)可以看成是具有 $n^{2}$ 个元素的函数,用符号表示为

$\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn} \end{bmatrix}$ ，

行列式中的元素可视为排布在一个方形块中。包含元素 $a_{11} ,a_{22} ,...,a_{nn }$

的这条线称为主对角线(the principal diagonal)。交换行列式的行和列，行列式的值保持不变。

3. 行列式的展开

3.1 行列式按一行元素和一列元素的展开(Cauchy展开式)

一个行列式|A|按行元素和行元素余子式(cofactors，即“余下的子表达式”)的展开(expansion)，或者按列元素和列元素余子式的展开，只是众多可能展开式中的一种。

例如，考虑下述显然的恒等式

(1)

$\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{bmatrix} = a_{11}|A_{11}|+\begin{bmatrix} 0&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{bmatrix}$ ，

其中，对于等号右边的第二个行列式，若我们将其视为通过使用一个前缀行 $\begin{bmatrix} 0&a_{12}&a_{13} \end{bmatrix}$ 和一个前缀列 $\{\begin{array}{lrc}0&a_{21}&a_{31} \end{array} \}$ 给 $\begin{bmatrix} a_{22}&a_{23} \end{bmatrix}$ 加边而构成，则我们可以称其为加边行列式(a bordered determinant)。很显然，对于任意阶的行列式 |A|，这样的恒等式成立。

现在，我们根据其第一行元素 $a_{11},a_{12},...,a_{1n}$ 来展开(1)中等号右边第二项(加边行列式)。其每一个余子式 $|A_{12}|,|A_{13}|,...,|A_{1n}|$ 都包含第一列的元素 $a_{21} , a_{31} ,...,a_{n1}$ 。现在，我们按照这些余子式的行元素 $a_{21} , a_{31} ,...,a_{n1}$ 依次展开所有这些余子式。我们将 $|A_{1j}|$ 中 $a_{i1}$ 的余子式表示为 $|A_{1j:i1}|$ ，即 $-|A_{11;ij}|$ 。因此，按此所获得的行列式展开式的项的总数为

(2) $\displaystyle | A | = a_{11}|A_{11}| - \sum_{i}\sum_{j}a_{i1} a_{1j}|A_{11;ij}|(i,j \neq 1 )$ 。

是行列式 | A | 的一个展开，归功于Cauchy ，按行和列再结合其余子式展开，

4. 行列式的属性

4.1 行列式的相应行变为相应列，行列式保持不变。

比如，第一行变为第一列，第二行变为第二列，如此类推，则行列式保持不变。例如

$\begin{bmatrix} a_{1}&b_{1}&c_{1}\\ a_{2}&b_{2}&c_{2}\\ a_{3}&b_{3}&c_{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3}\\ c_{1}&c_{2}&c_{3} \end{bmatrix}$ 。

4.2 用任意一个标量乘以行列式等同于用此标量乘此行列式的任意一行(或一列)。

例如：

$r\begin{bmatrix} a_{1}&b_{1}&c_{1}\\ a_{2}&b_{2}&c_{2}\\ a_{3}&b_{3}&c_{3} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} a_{1}&b_{1}&c_{1}\\ ra_{2}&rb_{2}&rc_{2}\\ a_{3}&b_{3}&c_{3} \end{bmatrix}$ 。

4.3 交换行列式的任意两个连续行(或列)等同于改变行列式的符号(由 + 及 - 或反之)。

例如：

$\begin{bmatrix} a_{1}&b_{1}&c_{1}\\ a_{2}&b_{2}&c_{2}\\ a_{3}&b_{3}&c_{3} \end{bmatrix} = -\begin{bmatrix} a_{1}&b_{1}&c_{1}\\ a_{3}&b_{3}&c_{3}\\ a_{2}&b_{2}&c_{2} \end{bmatrix}=-\begin{bmatrix} a_{1}&c_{1}&b_{1}\\ a_{2}&c_{2}&b_{2}\\ a_{3}&c_{3}&b_{3} \end{bmatrix}$ 。

4.4 行列式的任意一个元素都通过若干次交换行(或列)而带到左上角。

4.5 若一个行列式的两行或两列是相同的，则此行列式等于零。

例如：

$\begin{bmatrix} a_{1}&b_{1}&a_{1}\\ a_{2}&b_{2}&a_{2}\\ a_{3}&b_{3}&a_{3} \end{bmatrix} =0$ ， $\begin{bmatrix} a_{1}&b_{1}&c_{1}\\ a_{2}&b_{2}&c_{2}\\ a_{1}&b_{1}&c_{1}\end{bmatrix} =0$ 。

同上。如果一个行列式的任意行(或列)的元素都是其他任意行或列对应元素的等倍数，则此行列式为 0。例如，

$\begin{bmatrix} 3&2&4\\ 6&4&8\\1&2&3 \end{bmatrix} =2\begin{bmatrix} 3&2&4\\ 3&2&4\\1&2&3 \end{bmatrix}=0$ ; $\begin{bmatrix} 4&8&1\\ 1&2&5\\2&4&6 \end{bmatrix} =2\begin{bmatrix} 4&4&1\\ 1&1&5\\2&2&6 \end{bmatrix}=0$ 。

4.6 如果行列式中任意一列(或一行)的所有元素都是二项式，则该行列式可以分解为两个行列式之和。

例如：

$\begin{bmatrix} a_{1}&m_{1}+n_{1}&c_{1}\\ a_{2}&m_{2}+n_{2}&c_{2}\\ a_{3}&m_{3}+n_{3}&c_{3} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} a_{1}&m_{1}&c_{1}\\ a_{2}&m_{2}&c_{2}\\ a_{3}&m_{3}&c_{3} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} a_{1}&n_{1}&c_{1}\\ a_{2}&n_{2}&c_{2}\\ a_{3}&n_{3}&c_{3} \end{bmatrix}$ 。