向量

最新推荐文章于 2025-05-10 16:41:39 发布

Tinuv

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分类专栏：线性代数

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本文介绍了向量的内积定义及性质，包括内积的交换性、标量乘积、加法分配律以及非零向量的内积大于零。此外，还讨论了单位向量的定义，并探讨了矩阵转置的性质。最后，提到了正交向量组的线性无关性以及施密特正交化公式，用于将一组向量转化为正交基的过程。

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定义内积:

设有 $n$ 维向量 $x = \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\ ... \\x_n \end{bmatrix}$ , $y=\begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ ... \\ y_n \end{bmatrix}$ , $[x,y]=x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n$
即: $[x,y] = x^Ty$
内积的性质
1. $[x,y] = [y,x]$
2. $[\lambda x,y] = \lambda[x,y]$
3. $[x+y,z] = [x,z]+[y,z]$
4. 当 $x=0$ 时, $[x,x]=0$ ;但 $x\not=0$ 时 $[x,x]>0$
定义单位向量

定义向量x的长度为: $\begin{Vmatrix} x \end{Vmatrix}=\sqrt{[x,x]}=\sqrt{x{_1}^2+x{_2}^2+...+x{_n}^2}$ ,长度为1的向量为单位向量
矩阵转置的性质
1. $(A^T)^T=A$
2. $(A+B)^T = A^T+B^T$
3. $(\lambda A)^T=\lambda A^T$
4. $(AB)^T=B^TA^T$
矩阵相乘的运算律
1. $(AB)C = A(BC)$
2. $\lambda(AB)=(\lambda A)B=A(\lambda B)$
3. $A(B+C)=AB+BC,(A+B)C=AC+BC$
定理

若 $n$ 维向量 $a_1,a_2,...,a_n$ 是一组两两正交的非零向量,则 $a_1,a_2,...,a_n$ 线>性无关
施密特正交化公式

(1)

$b 1 = a 1 b 2 = a 2 - [ b 1 , a 2 ] [ b 1 , b 1 ] . . ., b n = a n - [ b 1 , a n ] [ b 1 , b 1 ] b 1 - [ b n - 1 , a n ] b n - 1 , b n - 1 b n - 1$ $b_1=a_1\\ b_2=a_2-\dfrac{[b_1,a_2]}{[b_1,b_1]}\\ ...,\\ b_n=a_n-\dfrac{[b_1,a_n]}{[b_1,b_1]} b_1-\dfrac{[b_{n-1},a_n]}{b_{n-1},b_{n-1}} b_{n-1}$
(2)单位化
$e_n=\dfrac{1}{\begin{Vmatrix}b_1\end{Vmatrix}}b_1$
定义

当 $[x,y]=0$ 时,称向量 $x$ 与 $y$ 正交