[bzoj4671]异或图

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本文探讨了斯特林反演与线性基算法在解决[bzoj4671]异或图问题中的应用。通过斯特林反演公式，我们能够计算出至少x个联通块的个数，并进一步求得恰好x个联通块的个数。使用贝尔数枚举每种划分方案，结合线性基求异或和为0的方案数，最终得出问题的解答。

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[bzoj4671]异或图

斯特林反演+线性基
首先容斥
$f (x)$ 表示至少x个联通块的个数,
$g (x)$ 表示恰好x个联通块的个数
$f[x]=∑i=xN\{ix\}g[i] f[x]=\sum_{i=x}^{N} { i \brace x }g[i]$
斯特林反演
$g[x]=\sum_{i=x}^{N} \left[ ^{i}_x \right]f(i)$
然后代入g1
$g(1)=\sum _{i=1}^{N}(-1)^{i-1}(i-1)!f(i)$
然后就可以算 $f (i)$ 了
贝尔数次枚举每种划分方案，然后对于每个一定不能出现的边搞线性基求异或和为0的方案数。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

char t[100];
ll bs[65],fac[11],ans=0;
int s,n,c[11],sz;
bool e[65][11][11];
int read(){char x=0;while(x<'0'||x>'9')x=getchar();return x-'0';}
void dfs(int v,int m){
	if(v>n){
		sz=0;
		for(int i=1;i<=n;i++)
			for(int j=i+1;j<=n;j++)if(c[i]!=c[j]){
				ll tmp=0;
				for(int k=1;k<=s;k++)
					if(e[k][i][j])tmp|=(1ll<<(k-1));
				for(int k=1;k<=sz;k++)
					if((tmp^bs[k])<tmp)tmp^=bs[k];
				if(tmp)bs[++sz]=tmp;
			}
		ans+=fac[m]*(1ll<<(s-sz));
		return;
	}
	for(int i=1;i<=m+1;i++)
		c[v]=i,dfs(v+1,m+(i>m));
}

int main()
{
	scanf("%d",&s);
	scanf("%s",t+1);
	int len=strlen(t+1),top=0;
	for(;n*(n-1)/2<len;n++);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=i+1;j<=n;j++)
			e[1][i][j]=t[++top]-'0';                
	for(int k=2;k<=s;k++)
		for(int i=1;i<=n;i++)
			for(int j=i+1;j<=n;j++)
				e[k][i][j]=read();
	fac[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++)fac[i]=fac[i-1]*(1-i);
	dfs(1,0);
	cout<<ans<<endl;
}