bzoj 4671: 异或图

最新推荐文章于 2019-09-11 08:50:00 发布

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本文探讨了一道关于图论的问题，通过高斯消元的方法来解决如何计算多个图的子集异或后形成连通图的数量。利用斯特林反演计算自由元个数，并通过代码实现了解决方案。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意

定义两个结点数相同的图 G1 与图 G2 的异或为一个新的图 G, 其中如果 (u, v) 在 G1 与
G2 中的出现次数之和为 1, 那么边 (u, v) 在 G 中, 否则这条边不在 G 中.
现在给定 s 个结点数相同的图 G1…s, 设 S = {G1, G2, … , Gs}, 请问 S 有多少个子集的异或为一个连通图?

题解

这题的话，我们可以枚举联通块
然后不同块的一定不能连边这个东西，就相当于给了若干个异或方程组
问你自由元个数吧方程都拿出来，高斯消元就可以了
因为这个东西，方程之间的运算是可以“状压”的，所以可以省去一个n的复杂度
然后斯特林反演的系数 $(-1)^{i-1}*(i-1)!$
证明就不给了。。记下来也可以

CODE:

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL N=15;
LL s;
char ss[N*N];
LL n=0;
LL f[62][N][N];
LL JC[N];
LL ans;
LL bel[N];
LL h[N*N];
LL calc ()
{
    LL tot=0;
    for (LL u=1;u<=n;u++)
        for (LL i=u+1;i<=n;i++)
            if (bel[u]!=bel[i])
            {
                LL lalal=0;
                for (LL j=0;j<s;j++)
                    lalal=lalal|(1LL<<j)*f[j][u][i];
            //  printf("%lld\n",lalal);
                h[++tot]=lalal;
            }
    LL now=1;
    LL lalal=0;
    for (LL u=s-1;u>=0;u--)
    {
    //  printf("ooo:%lld %lld\n",now,tot);
        for (LL i=now;i<=tot;i++)
        {
            //printf("k:%lld %lld\n",h[i],h[]);
            if ((h[i]>>u)&1LL)  
                {swap(h[i],h[now]);break;}
        }
    //  printf("%lld %lld %lld %lld\n",u,now,h[now],(h[now]>>u)&1);
        if (now<=tot&&(h[now]>>u)&1LL)  
        {
            for (int i=now+1;i<=tot;i++)
                if ((h[i]>>u)&1LL)
                    h[i]^=h[now];
            now++;
        }
        else lalal++;
    }
    //printf("OZY:%lld\n",lalal);
    return 1LL<<lalal;
}
void dfs (LL x,LL id)
{
    if (x==n+1)
    {
        LL t;
        if (id&1) t=JC[id-1];
        else t=-JC[id-1];
    //  printf("TYB:%lld %lld %lld\n",x,id,t);
        ans=ans+t*calc();
        return ;
    }
    for (LL u=1;u<=id;u++)
    {
        bel[x]=u;
        dfs(x+1,id);
    }
    bel[x]=id+1;
    dfs(x+1,id+1);
}
int main()
{
    scanf("%lld",&s);
    for (LL u=0;u<s;u++)
    {
        scanf("%s",ss);LL len=strlen(ss);
        for (LL j=1;n==0;j++)
            if (j*(j-1)/2==len)
                n=j;
        LL xx=0;
        for (LL i=1;i<=n;i++)
            for (LL j=i+1;j<=n;j++)
            {
                f[u][i][j]=ss[xx]-'0';
                xx++;
            }
    }
//  printf("%lld\n",n);
    JC[0]=1;for (LL u=1;u<=n;u++) JC[u]=JC[u-1]*u;
    ans=0;dfs(1,0);printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}