本文介绍了克罗内克函数Kronecker Delta的定义和推论，包括其等价性质和筛选性质，并在数学表达式中展示了如何应用在单位矩阵和向量内积上。
克罗内克函数Kronecker Delta
1 定义
δij={0if i≠j,1if i=j.
\delta _{{ij}}={\begin{cases}0&{\text{if }}i\neq j,\\1&{\text{if }}i=j.\end{cases}}
δij={01if i=j,if i=j.
也可记作：
δij=[i=j]
{\displaystyle \delta _{ij}=[i=j]\,}
δij=[i=j]
比如单位矩阵可以描述为，矩阵I\mathbf{I}I满足
Iij=δij
{\displaystyle I_{ij}=\delta _{ij}}
Iij=δij
向量内积可以描述为
a⋅b=∑i,j=1naiδijbj
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i,j=1}^{n}a_{i}\delta _{ij}b_{j}
a⋅b=i,j=1∑naiδijbj
2 推论
2.1 Equivalence Property
δ(i,j)=δ(i−j,0) \delta(i,j) = \delta(i - j,0) δ(i,j)=δ(i−j,0)
2.2 Sifting Property
当j∈Zj ∈ ℤj∈Z,有
∑i=−∞∞aiδij=aj.
\sum_{i=-\infty}^\infty a_i \delta_{ij} =a_j.
i=−∞∑∞aiδij=aj.
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