杨表&钩长公式Young Diagram & Hook Length Formula【OI Pharos 6.1.1】

最新推荐文章于 2021-03-05 20:59:32 发布

MolotovM

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分类专栏： OI Pharos

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这篇笔记介绍了杨表（Young Diagrams）和钩长公式（Hook Length Formula）在整数分拆中的应用。杨图用方格表示整数分拆，分为英式和法式两种画法。杨表是在杨图中填充正整数，确保行列有序。钩长是杨表中每个方格的腿长和臂长之和加1，而钩长公式给出了杨表填数方案数的计算方式。

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【笔记】杨表&钩长公式 Young Diagram & Hook Length Formula

文章目录

【笔记】杨表&钩长公式 Young Diagram & Hook Length Formula

1 杨图/费瑞尔图 Young Diagram/Ferrres Diagram

杨图用来表示整数分拆，由有限多个相邻的方格排列而成

其中，各横行的左边对齐，长度由下而上递增

当使用圆点代替，该图被称作Ferrers图

若将杨图的各行的方格数列出，则形成总方格数 n 的一个整数分拆 λ

因此，此图可以被视为是 λ 的形状，因为它和 λ 携带了相同的资讯

下图是表示整数分拆（5，4，1）的杨图

Ferrers Diagram
杨图有两种画法：英式画法和法式画法

行长由上到下递增是法式，反之是英式

2 杨表 Young Tableau

杨表是在大小为n的杨图中的各个方格填入n个元素

原本，填入的元素应该要写作 x1, x2, x3 …

但为了方便起见，都直接填入正整数

满足每行和每列都严格有序

在这里插入图片描述

3 钩长公式Hook Length Formula

勾长

对于杨表中的一个方格 $v$ ，其勾长

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