Codeforces483Div1 983A Finite or not?

最新推荐文章于 2024-09-30 05:54:51 发布

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分类专栏：数论

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本文探讨了如何判断一个十进制下的分数p/q是否能在b进制下表示为有限小数的问题，并提供了一种有效的算法实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：

给出N次询问，每次询问十进制下的p/q能否在b进制下表示成有限小数。
$N\leq 10^5,p,q,b\leq 10^{18}$

分析：

在b进制下，该数若能被表示为有限小数，则必须满足：
$p*b^k\equiv 0 (mod \space q)$ ，其中 $k\in [0,∞)$
在p，q互质的情况下，要使得 $\{p的质因子集合\}\subseteqq\{b的质因子集合\}$
判断的方法有很多
其中一个方法是：不停地取 $g=gcd(p,b)$ ，令 $p=p/g$
若当p不为1时，g=1,则说明不满足，否则就一定满足。考虑到卡常，每次计算后令b=g。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define SF scanf
#define PF printf
#define MAXN 100010
using namespace std;
typedef long long ll;
int n;
ll p,q,b;
ll gcd(ll x,ll y){
    if(y==0)
        return x;
    return gcd(y,x%y);
}
int main(){
    SF("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        SF("%I64d%I64d%I64d",&p,&q,&b);
        if(p==0){
            PF("Finite\n");
            continue;
        }
        ll g=gcd(p,q);
        p/=g;
        q/=g;
        ll t=b;
        while(q!=1ll){
            t=gcd(q,t);
            if(t==1ll)
                break;
            q/=t;
        }
        if(q==1ll)
            PF("Finite\n");
        else
            PF("Infinite\n");
    }
}