Codeforces ~ 983A ~ Finite or not?(思维,分数在b进制下是否为无限小数)

本文介绍了一种算法,用于判断一个分数在特定进制下是否表现为无限小数。通过分析分母与进制的关系,利用素因子和最大公约数的概念,提出了一种高效的判断方法。

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题意

N组测试数据,每组有三个数p,q,b,问pq\frac {p}{q}qp在b进制下是否为无限小数?

思路

首先,一个最简分数是不是无限小数跟分子无关,只跟分母有关。
在b进制下,如果q∣bk,k∈Zq | b^k,k∈Zqbk,kZ那么pq\frac {p}{q}qp就是一个有限小数,否则就是无限小数。
q∣bkq | b^kqbk,那么qqq的素因子应该是bkb^kbk的子集。我们做迭代q÷gcd⁡(b,q)q \div \gcd (b,q)q÷gcd(b,q),如果迭代之后q≠1q≠1q̸=1,那么分数就是无限小数,否则就是有限小数。但是这样做复杂度为Onlog⁡21018On \log^2 10^{18}Onlog21018会超时。
我们上述方法中加入b=gcd⁡(b,q)b=\gcd(b,q)b=gcd(b,q),不会影响答案,但是复杂度变为Onlog⁡1018On \log 10^{18}Onlog1018,就能过了。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
int main()
{
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while (T--)
    {
        LL p, q, b;
        scanf("%lld%lld%lld", &p, &q, &b);
        LL G = __gcd(p, q);
        p /= G, q /= G;
        while (1)
        {
            LL g = __gcd(b, q);
            if (g == 1)
                break;  
            b = g, q /= g;
        }
        if (p == 0 || q == 1)
            puts("Finite");
        else
            puts("Infinite");
    }
    return 0;
}
/*
2
6 12 10
4 3 10
*/
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