Codeforces ~ 983A ~ Finite or not?（思维，分数在b进制下是否为无限小数）

张松超

于 2018-10-18 16:35:08 发布

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分类专栏：【思维/构造】

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本文介绍了一种算法，用于判断一个分数在特定进制下是否表现为无限小数。通过分析分母与进制的关系，利用素因子和最大公约数的概念，提出了一种高效的判断方法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意

N组测试数据，每组有三个数p，q，b，问 $pq\frac {p}{q}$ 在b进制下是否为无限小数？

思路

首先，一个最简分数是不是无限小数跟分子无关，只跟分母有关。
在b进制下，如果 $q | b^k,k∈Z$ 那么 $pq\frac {p}{q}$ 就是一个有限小数，否则就是无限小数。
$q | b^k$ ，那么 $q$ 的素因子应该是 $b^k$ 的子集。我们做迭代 $\div \gcd (b,q)$ ，如果迭代之后 $q ̸ = 1$ ，那么分数就是无限小数，否则就是有限小数。但是这样做复杂度为 $On \log^2 10^{18}$ 会超时。
我们上述方法中加入 $b=gcd⁡(b,q)b=\gcd(b,q)$ ，不会影响答案，但是复杂度变为 $On \log 10^{18}$ ，就能过了。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
int main()
{
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while (T--)
    {
        LL p, q, b;
        scanf("%lld%lld%lld", &p, &q, &b);
        LL G = __gcd(p, q);
        p /= G, q /= G;
        while (1)
        {
            LL g = __gcd(b, q);
            if (g == 1)
                break;  
            b = g, q /= g;
        }
        if (p == 0 || q == 1)
            puts("Finite");
        else
            puts("Infinite");
    }
    return 0;
}
/*
2
6 12 10
4 3 10
*/