【总结】【数论】原根和指标

前言：

原根和指标在数论中有大量的性质和规律，这里无法一一列举，只能简要写写用到的概率大一些的内容。本文是博主在复习时总结用，许多证明都已经略去，不建议初学者参考（速食主义者除外）。
主要包括：原根的定义及基本性质，求法，指标的定义，以及指标的基本应用。

原根

定义及性质：

要说明原根的完整定义，又要扯到阶那一块，这里就直接用一句话大致表示了：

若$a$为模m的原根
那么必然满足$(a,m)=1$且$a^{\varphi(m)}\equiv 1\ (mod\ m)$，并且不存在一个正整数$l<\varphi(m)$，使得$a^l\equiv 1(mod\ m)$

下面给出一些原根的基本性质（证明略）

性质1：设g为模m的原根，那么其充要条件是$\{g,g^2,g^3,……g^{\varphi(m)}\}$组成模m的一个既约剩余系。

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性质2：若m有原根，其必然满足：m=2,4,$p^{\alpha},2*p^{\alpha}$，否则没有原根

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性质3：若m有原根，那么其恰好有$\varphi(\varphi(m))$个在模m意义下不同的原根。

这三条是原根最常用的性质，也是后面需要用到的。

原根求法：

对于一个存在原根的数m，其最小原根一般都不大，所以求m的最小原根的复杂度会很玄学（非常小）。。但如果要求所有原根，那复杂度就是妥妥的O(mlogm)了。

其实数论中并没有直接求原根的方式，但有快速检验是否为原根的方式。

将$\varphi(m)$因数分解，即$\varphi(m)=p_1^{k_1}p_2^{k_2}……p_n^{k_n}$如果一个数$g$是模m的原根，则其必然满足对于任意一个$1\leq i\leq n$，$g^{\frac {\varphi(m)} {p_i}}≠1(mod\ m)$
所以一次check的复杂度就是$\varphi(m)$的质因子个数*快速幂复杂度。

然后根据目标强行枚举就可以了。

指标（离散对数）

根据原根的性质1，$g^1,g^2,g^3……g^{\varphi(m)}$组成模m的一个既约剩余系。
指标用$I$表示，满足：$I(g^x)=x$（这个定义和对数函数非常类似，所以指标又称作离散对数）

并且，它与对数函数也有许多共同的性质：
$I(ab)=I(a)+I(b)$
$I(a^k)=k\times I(a)$
证明非常简单
$g^{I(ab)}\equiv ab\equiv g^{I(a)}*g^{I(b)}\equiv g^{I(a)+I(b)}(mod\ m)$

最常见的应用是：
解模高次方程，例如：
$3x^{30}\equiv I(4)(mod\ 37)$
$I(3)+30\times I(x)\equiv I(4)(mod\ \varphi(37)=36)$
$26+30\times I(x)\equiv 2(mod\ 36)$
$30\times I(x)\equiv 36-26+2\equiv 12(mod\ 36)$
当然，要这么解的前提是你要有一个指标表。。。

BSGS

BSGS算法是解决离散对数的又一常用算法（至少比直接打指标表常用。。。）