Minkowski空间的共形分裂和射影分裂

Minkowski代数${\mathbb{R}}_{1,1}$同构于$2\times 2$实矩阵代数$L_2(R)$。一般线性群与特殊线性群与${\mathbb{R}}_{1,1}$的乘法子群的同构关系是：
{G∈R1,1∣G∗G†≠0}≅GL2(R)\{G\in\mathbb R_{1,1}|G^*G^\dag\neq0\}\cong GL_2(R){G∈R1,1​∣G∗G†​=0}≅GL2​(R){G∈R1,1∣G∗G†=1}≅SL2(R)\{G\in\mathbb R_{1,1}|G^*G^\dag=1\}\cong SL_2(R){G∈R1,1​∣G∗G†=1}≅SL2​(R)

$S{L}_2(R)$群是一个三参数群，结构如下：$G=K_{\alpha }{T}_{\beta }{U}_{\phi }$，其中$U_{\phi }=e^{\phi E/2},K_{\alpha }=1+\alpha e_0=K_{\alpha }^{†},T_{\beta }=1+\beta e=T_{\beta }^{†}$。此式的标量参数$\alpha ,\beta ,\phi$的定义区间是$[-\infty ,\infty ]$，我们对此式的兴趣源于它与后面描述的保角群的关系。通篇的其余部分，我们将处理${\mathbb{R}}^{n+1,1}$，经常分解成直和的形式：${\mathbb{R}}^{n+1,1}={\mathbb{R}}^n\oplus {\mathbb{R}}^{1,1}$，这种分解称为共形分裂，因为它在本质上与${\mathbb{R}}^n$上的保角群有关。用黑体字表示向量在${\mathbb{R}}^n$的分量是很方便的，并且使用{eo,e}\{e_o, e\}{eo​,e}表示${\mathbb{R}}^{1,1}$的空基。${\mathbb{R}}^{n+1,1}$中的任何向量$a$都可以分解为：$a=\text{a}+\alpha e_0+\beta e$。

共形分裂由${\mathbb{R}}^{1,1}$的单位伪标量$E$唯一确定。令$I$是${\mathbb{R}}^{n+1,1}$的单位伪标量，那么$\tilde{E}=E{I}^{-1}=-E{I}^{†}$就是${\mathbb{R}}^n$的伪标量，并且有如下的分裂：$a=P_E(a)+P_E^{\perp }(a)$，其中的射影算子由下式给出：$$P_E(a)=(a\cdot E)E=\alpha e_0+\beta e\in {\mathbb{R}}^{1,1}$$$$P_E^{\perp }(a)=(a\cdot \tilde{E}){\tilde{E}}^{†}=(a\wedge E)E=\text{a}\in {\mathbb{R}}^n$$

从上面的式子可以看出，Minkowski平面${\mathbb{R}}^{1,1}$是由$E$唯一确定的，因此称之为$E$平面。投影$P_E^{\perp }$可以视为$E$平面的排斥（rejection）。${\mathbb{R}}^n$中的点$\text{a}$用仨向量（trivector）$a\wedge E$来表示，这两种表示方法各有优点，但是它们对${\mathbb{R}}^n$的表示是同构的，所以通常忽略它们之间的差别。

${\mathbb{R}}^n$中“点”的齐次坐标的基本思想是通过将${\mathbb{R}}^n$嵌入高维空间来消除原点的影响。为做到这一点，一个有效的方法是射影分裂。令$e$是$E$平面上的向量，${\mathbb{R}}^{n+1,1}$中任意不垂直于$e$的向量$a$关于$e$的射影分裂定义为：$$ae=a\cdot e+a\wedge e=a\cdot e\left(1+\frac{a\wedge e}{a\cdot e}\right)$$

这是用双向量$\frac{a\wedge e}{a\cdot e}$来表示向量$a$，这个表示方法与标量无关，因此可以采用一个特定的标量：$a\cdot e=e_0\cdot e=-1$，这对$a$在${\mathbb{R}}^n$中的部分没影响，因此我们把$e\wedge a=-a\wedge e$称为$a$的射影表示。齐次坐标的经典方法对应于关于非空向量的射影分裂。我们将看到，用空向量表示分裂有很多好处，结果是一种“广义”齐次坐标。

以向量$\text{n}$为法向量且经过$a$点的超平面记为$P^{n+1}(\text{n},a)$，里面的元素$x$满足：$\text{n}\cdot (x-a)=0(x\in {\mathbb{R}}^{n+1,1})$，还可以表示为：$\tilde{\text{n}}\wedge (x\ast a)=0(x\in {\mathbb{R}}^{n+1,1})$其中$\tilde{\text{n}}=\text{n}{I}^{-1}$是对偶于$\text{n}$的$n+1$向量。超平面的定义是：Pn+1(e,e0)={x∈Rn+1,1∣e⋅(x−e0)=0}\mathbb P^{n+1}(e,e_0)=\{x\in\mathbb R^{n+1,1}|e\cdot(x-e_0)=0\}Pn+1(e,e0​)={x∈Rn+1,1∣e⋅(x−e0​)=0}

用$e_0$代替${\mathbb{R}}^n$的原点实现了齐次坐标。要使$x$在${\mathbb{R}}^n$对应唯一的$\text{x}$，还需要一个条件。

Homogeneous Model of Euclidean Space

${\mathbb{R}}^{n+1,1}$中所有空向量的集合${\mathbb{N}}^{n+1}$称为空锥（null cone）。把点视为空向量，并且使之位于${\mathbb{N}}^{n+1}$和${\mathbb{P}}^{n+1}(e,e_0)$的交集里面，我们完善了${\mathbb{R}}^n$中点的广义齐次坐标的定义。这里的交集是${\mathbb{R}}^{2,1}$里面的抛物面：Nen=Nn+1⋂Pn+1(e,e0)={x∈Rn+1,1∣x2=0,x⋅e=−1}\mathbb N_e^n=\mathbb N^{n+1}\bigcap\mathbb P^{n+1}(e,e_0)=\{x\in\mathbb R^{n+1,1}|x^2=0,x\cdot e=-1\}Nen​=Nn+1⋂Pn+1(e,e0​)={x∈Rn+1,1∣x2=0,x⋅e=−1}

它在高维空间的双曲几何中推广为极限球面（horosphere），应用条件$x^2=0,x\cdot e=-1$，我们有：$$x=\text{x}+\frac{{\text{x}}^{2}e}{2}+e_0$$
这定义了一个由$\text{x}\in {\mathbb{R}}^n$到$x\in {\mathbb{N}}_e^n$的双射。于是，我们可以证明${\mathbb{E}}^n,{\mathbb{N}}_e^n,{\mathbb{R}}^n$是同构的，把${\mathbb{N}}_e^n$称为${\mathbb{E}}^n,{\mathbb{R}}^n$的齐次模型，把${\mathbb{N}}_e^n$的点称为齐次点。

我们用“齐次坐标”来描述我们的讨论，因为这是一个标准概念。然而，几何代数使我们能够将一个点表示为一个单独的向量，而不需要将一个向量分解成一组坐标。因此，更可取的说法是“齐次点”而不是“齐次坐标”。

令$\text{x}=0$，可以发现${\mathbb{R}}^n$的原点的齐次点是$e_0$；根据$$\underset{{\text{x}}^2\to 0}{\lim }\frac{x}{-x\cdot e_0}=\underset{{\text{x}}^2\to 0}{\lim }e+2\left(\frac{\text{x}+e_0}{{\text{x}}^2}\right)=e$$可以发现$e$是无限远点的齐次点。点的投影表示可以写为：$$e\wedge x=\frac{e\wedge x}{-e\cdot x}=e\text{x}+e\wedge e_0$$注意，当$e\cdot \text{x}=0$，有$e\wedge \text{x}=e\text{x}=-\text{x}e$。

直线、线段

在讨论几何对象的一般处理方法之前，我们先考虑齐次模型如何描述欧几里德几何中最简单的对象和关系。$a$和$b$的几何积可以展开为：$$ab=\text{ab}+(\text{a}-\text{b})e_0-\frac{({\text{a}}^2+{\text{b}}^2)+(\text{b}{\text{a}}^2-\text{a}{\text{b}}^2)e+({\text{b}}^2-{\text{a}}^2)E}{2}$$根据双向量部分，我们得到：$$e\wedge a\wedge b=e\wedge (\text{a}+e_0)\wedge (\text{b}+e_0)=e\text{a}\wedge \text{b}+(\text{b}-\text{a})E$$我们知道$\text{a}\wedge \text{b}=\text{a}\wedge (\text{b}-\text{a})$是通过点$\text{a}$、以$\text{a}-\text{b}$为切线的直线的矩，因此$e\wedge a\wedge b$完全表征了这条直线。因此，我们将$e\wedge a\wedge b$解释为一条通过点$a$和$b$的直线，或者更具体地说，是一个一维单形。

标量部分$a\cdot b=-(\text{a}-\text{b}{)}^2/2$，因此，两个齐次点的内积可以直接由它们之间的欧氏距离的平方得到。当$a^2=b^2=0$的时候，有：$(a-b{)}^2=-2a\cdot b=(\text{a}-\text{b}{)}^2$。另外，这表明${\mathbb{R}}^n$在${\mathbb{N}}_e^n$中的嵌入是等距的。线段长度的平方是：$$\begin{array}{rl}(e\wedge a\wedge b{)}^2& =-(e\wedge a\wedge b)\cdot (e\wedge a\wedge b)\\ & =[(b\wedge a)\cdot e]\cdot [e\cdot (a\wedge b)]\\ & =[a-b]\cdot [a-b]=(a-b{)}^2\end{array}$$这雨线段的欧几里德距离一致。我们还发现：$$e\wedge a\wedge b\wedge c=e\text{a}\wedge \text{b}\wedge \text{c}+E(\text{b}-\text{a})\wedge (\text{c}-\text{a})$$这告诉我们可以把$\text{a}\wedge \text{b}\wedge \text{c}$看作是带有切向量$(\text{b}-\text{a})\wedge (\text{c}-\text{a})$的平面的力矩。因此，$e\wedge a\wedge b\wedge c$表示通过点$a,b,c$的平面，或者更具体地说，是用这些点作为顶点的三角形(二维单形)。这个三角形的平方是$(e\wedge a\wedge b\wedge c{)}^2=[(\text{b}-\text{a})\wedge (\text{c}-\text{a}){]}^2$。

圆、球

${\mathbb{R}}^n$中以$\rho$为半径、$\text{p}$为圆心（球心）的圆球可以写为：$(\text{x}-\text{p}{)}^2={\rho }^2$，等价的齐次方程式是：$x\cdot p=-{\rho }^2/2$。利用$x\cdot e=-1$，可以把上式化简为$x\cdot s=0$，其中向量$s$有如下性质：$$\{\begin{array}{l}s=p-{\rho }^{2}e/2=\text{p}+e_0+\frac{{\text{p}}^2-{\rho }^2}{2}e\\ s^2={\rho }^2>0\\ s\cdot s=-1\end{array}$$因此${\mathbb{R}}^{n+1,1}$中每一个向量$s$都唯一确定了一个${\mathbb{R}}^n$中的圆球。从另一个角度来看，圆球可以用$s$的对偶$\tilde{s}=s{I}^{-1}$来表示。因为$I^{†}=(-1{)}^{ϵ}I=-I^{-1},ϵ=(n+1)(n+2)/2$，我们可以改写$s$的性质：$$\{\begin{array}{l}{s}^2=-{\tilde{s}}^{†}\tilde{s}={\rho }^2\\ s\cdot e=e\cdot (\tilde{s}I)=(e\wedge \tilde{s})I=-1\end{array}$$上述球面还可以写为对偶形式：$x\wedge \tilde{s}=0$。正如后面所提到的，$\tilde{s}$的优点是它可以直接从球面上的点计算出来。然后通过对偶得到$s$，求出球的中心。这种球面的对偶性在计算和概念上都非常强大。

欧几里德几何

对于${\mathbb{E}}^2$来说，齐次模型的优点在一个例子中体现得最为明显：

$\text{Simson定理}$给定$△ABC$，$D$是平面上的一点，从$D$作三角形三边的垂线，垂足分别是$A_1,B_2,C_1$。那么点$A_1,B_2,C_1$在一条直线上当且仅当$D$在$△ABC$的圆周上。

暂时搁置用小写字母表示向量的约定，我们将上中的标签解释为${\mathbb{E}}^2$中的齐次点。我们有几何代数来表述关系以便于分析。我们把$△ABC$记为$e\wedge A\wedge B\wedge C$，它的边$AB$记为$e\wedge A\wedge B$。这种记法这融合了综合几何的表达优势和几何代数的计算能力。在证明Simson定理之前，我们引用了欧几里德几何中的一些基本结果。首先，三角形$e\wedge A\wedge B\wedge C$的外接圆是：$$\tilde{s}=A\wedge B\wedge C$$后文将给出一个一般性的方法，证明它确实是这三个点的外接圆。下面我们来计算半径：$${\rho }^2=\frac{s^2}{(s\cdot e{)}^2}=\frac{{\tilde{s}}^{†}\tilde{s}}{(s\wedge \tilde{e}{)}^2}=\frac{(C\wedge B\wedge A)\cdot (A\wedge B\wedge C)}{(e\wedge A\wedge B\wedge C)\cdot (e\wedge A\wedge B\wedge C)}$$

上式右边是两个行列式的比值，当展开时，${\rho }^2$就表示为三角形边的长度的关系式。分子可以展开为：
$$\begin{array}{rl}(A\wedge B\wedge C{)}^2& =-\left|\begin{array}{ccc}0& A\cdot B& A\cdot C\\ B\cdot A& 0& B\cdot C\\ C\cdot A& C\cdot B& 0\end{array}\right|=-2(A\cdot B)(B\cdot C)(C\cdot A)\\ & =\frac{(A-B{)}^2(B-C{)}^2(C-A{)}^2}{4}\\ & =\frac{(\text{A}-\text{B}{)}^2(\text{B}-\text{C}{)}^2(\text{C}-\text{A}{)}^2}{4}\end{array}$$分母展开为：$$\begin{array}{rl}(e\wedge A\wedge B\wedge C{)}^2& =-4S_{△ABC}^2\\ & =[(\text{B}-\text{A})\cdot (\text{C}-\text{A}){]}^2-(\text{B}-\text{A}{)}^2(\text{C}-\text{A}{)}^2\\ & =[(B-A)\cdot (C-A){]}^2-(B-A{)}^2(C-A{)}^2\end{array}$$归一化$A\wedge B\wedge C$并取其对偶，我们可以确定圆心$P$，因此：$$\frac{-\widetilde{A\wedge B\wedge C}}{\widetilde{e\wedge A\wedge B\wedge C}}=P-{\rho }^{2}e/2$$

为了把圆$A\wedge B\wedge C$与点$D$联系起来，我们使用$\vee$操作：$$(A\wedge B\wedge C)\vee D=\widetilde{A\wedge B\wedge C}\cdot D=-\widetilde{A\wedge B\wedge C\wedge D}$$进而有$$A\wedge B\wedge C\wedge D=\frac{{\rho }^2-{\delta }^2}{2}e\wedge A\wedge B\wedge C(\text{其中}{\delta }^2=-2P\cdot D)$$
左边=0当且仅当$D$在圆$A\wedge B\wedge C$上，相应的，右边的$\rho =\delta$。

为了用代数方法构造Simson三角形，我们需要求出点$D$在$e\wedge A\wedge C$的垂足$B_1$。利用非齐次点，我们可以把垂足的条件写成：$({\mathbf{B}}_1-\mathbf{D})\cdot (\mathbf{C}-\mathbf{A})=0$，因此$({\mathbf{B}}_1-\mathbf{D})(\mathbf{C}-\mathbf{A})=({\mathbf{B}}_1-\mathbf{D})\wedge (\mathbf{C}-\mathbf{A})=(\mathbf{A}-\mathbf{D})\wedge (\mathbf{C}-\mathbf{A})$，两边除以$\mathbf{C}-\mathbf{A}$：$$\begin{array}{rl}{\mathbf{B}}_1-\mathbf{D}& =[(\mathbf{A}-\mathbf{D})\wedge (\mathbf{C}-\mathbf{A})]\cdot (\mathbf{C}-\mathbf{A}{)}^{-1}\\ & =\mathbf{A}-\mathbf{D}-(\mathbf{A}-\mathbf{D})\cdot (\mathbf{C}-\mathbf{A}{)}^{-1}(\mathbf{C}-\mathbf{A})\end{array}$$所以$${\mathbf{B}}_1=\mathbf{A}+\frac{(\mathbf{D}-\mathbf{A})\cdot (\mathbf{C}-\mathbf{A})}{(\mathbf{C}-\mathbf{A}{)}^2}(\mathbf{C}-\mathbf{A})$$我们可以很容易地把它转换成齐次点之间的关系。然而，我们只对Simson三角形$e\wedge A_1\wedge B_1\wedge C_1$感兴趣：$$\begin{array}{rl}e\wedge A_1\wedge B_1\wedge C_1& =E({\mathbf{B}}_1-{\mathbf{A}}_1)\wedge ({\mathbf{C}}_1-{\mathbf{A}}_1)\\ & =E({\mathbf{A}}_1\wedge {\mathbf{B}}_1+{\mathbf{B}}_1\wedge {\mathbf{C}}_1+{\mathbf{C}}_1\wedge {\mathbf{A}}_1)\end{array}$$不失一般性，把$\mathbf{D}$视为${\mathbb{R}}^n$的原点，计算得以简化。注意到${\delta }^2=-2P\cdot D={\text{p}}^2$，令$\text{D}=0$，有：$$e\wedge A_1\wedge B_1\wedge C_1=\left(\frac{{\rho }^2-{\delta }^2}{4{\rho }^2}e\wedge A\wedge B\wedge C\right)$$计算中唯一棘手的部分是得到此式右侧的系数。利用上文关于$\delta ,\rho$的展开形式，以及$A\wedge B\wedge C\wedge D=\frac{{\rho }^2-{\delta }^2}{2}e\wedge A\wedge B\wedge C$，我们可以得到下面的恒等式：$$e\wedge A_1\wedge B_1\wedge C_1=\frac{A\wedge B\wedge C\wedge D}{2{\rho }^2}$$

这证明了Simson定理，当且仅当D在圆上时，右边消去了，当且仅当三个点在同一条直线上时，左边消去了。

欧几里德球和超球