exgcd扩展欧几里得

最新推荐文章于 2024-07-08 22:56:51 发布

qq_970313613

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分类专栏：基础数论文章标签：求解

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qq_33961229/article/details/95335586

本文介绍了扩展欧几里得算法在求解乘法逆元和不定方程中的应用，详细阐述了算法的规则和原理。通过实例解析了如何利用扩展欧几里得算法解决青蛙约会问题，即寻找使得两个坐标相等的跳跃次数。

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关于乘法逆元的拓展

： ax≡b(mod n) //这个式子的意思就是（ax）%n==b%n 也就是让我们求解方程 ax+ ny= b
例如 5x≡4(mod 3) x=2,5,8,12,15…(这时我们知道解x是一个等差数列）
我们如何去求解 x 的值呢？？
设公差为d 5(x+d)≡4(mod 3)
与上面的式子相减可以得到 5d(mod 3)=0
而 ad是a的倍数也是n的倍数我们要求d的最小值只需要求出a和n的最小公倍数即可
ad=最小公倍数(a,n)=an/最大公约数gcd(a,n)
推出 d=(a*n/gcd(a,n))/a=n/gcd(a,n)

bool modular_linear_equation(int a,int b,int n)
{
    int x,y,x0,i;
    int d=exgcd(a,n,x,y);
    if(b%d)
        return false;//该方程无解
    x0=x*(b/d)%n;   //特解
    for(i=1;i<d;i++)
        printf("%d\n",(x0+i*(n/d))%n);//该方程有解
    return true;
}

光是代码和概念肯定不够深刻啦在这附上一道题吧添加链接描述
当遇到a/b%m时如何求解呢，对于除法我们并没有取模运算那么怎么解决这道题呢
首先在前面我们已经讲解了乘法逆元那在这道题中我们需要运用到乘法逆元来解题
逆元的概念就是(a*_a)%m=1，式中_a就是a的乘法逆元，它等价除法，即a/b%m=a*_b%m
(a*_a)%m=1等价于表达式ax+my=1，之后利用扩展欧几里得算法求解的x0
最小正整数逆元就为x=(x0%m+m)%m[根据同解系可