关于乘法逆元的拓展
: ax≡b(mod n) //这个式子的意思就是 (ax)%n==b%n 也就是让我们求解 方程 ax+ ny= b
例如 5x≡4(mod 3) x=2,5,8,12,15…(这时我们知道解x是一个等差数列)
我们如何去求解 x 的值呢 ??
设公差 为d 5(x+d)≡4(mod 3)
与上面的式子相减可以得到 5d(mod 3)=0
而 ad是a的倍数也是n的倍数 我们要求d的最小值 只需要求出a和n的最小公倍数即可
ad=最小公倍数(a,n)=an/最大公约数gcd(a,n)
推出 d=(a*n/gcd(a,n))/a=n/gcd(a,n)
bool modular_linear_equation(int a,int b,int n)
{
int x,y,x0,i;
int d=exgcd(a,n,x,y);
if(b%d)
return false;//该方程无解
x0=x*(b/d)%n; //特解
for(i=1;i<d;i++)
printf("%d\n",(x0+i*(n/d))%n);//该方程有解
return true;
}
光是代码和概念肯定不够深刻啦 在这附上一道题吧 添加链接描述
当遇到a/b%m时如何求解呢,对于除法我们并没有取模运算 那么怎么解决这道题呢
首先在前面我们已经讲解了乘法逆元 那在这道题中 我们需要运用到乘法逆元来解题
逆元的概念就是(a*_a)%m=1,式中_a就是a的乘法逆元,它等价除法,即a/b%m=a*_b%m
(a*_a)%m=1等价于表达式ax+my=1,之后利用扩展欧几里得算法求解的x0
最小正整数逆元就为x=(x0%m+m)%m[根据同解系可