exgcd&&中国剩余定理

原创已于 2025-06-08 16:43:10 修改 · 119 阅读

0 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#算法 #中国剩余定理 #拓展欧几里得

于 2021-09-22 21:05:31 首次发布

数论专栏收录该内容

5 篇文章

订阅专栏

本文介绍了解线性同余方程的方法——拓展欧几里得算法，并给出其C++实现代码。此外，还详细介绍了中国剩余定理及其应用，包括求解一般形式的同余方程组。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

拓展欧几里得模板

求解 $g c d (a, b) = a x + b y ， x$ 与 $y$ 的值
由 $g c d (a, b) =$ $gcd(b,a\%b)$
$ax+by=bx+(a-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor*b)y$
$a x + b y = a y + b (x - a / b * y)$
发现 $a x$ 对应 $a y$ 只有一项不相等，直接交换即可
$ax+by=ax+b(y-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor x)$
a*x+b*y=c存在解的充分必要条件c%__gcd(a,b)==0
$a x + b y = c$ 等价于 $ax\equiv c\pmod b$ 有解的充分必要条件c%gcd(a,b)=0
例：求解 $ax\equiv1\pmod b$ 即为： $ax+by\equiv1 \pmod {b}$ 的解
当1%__gcd(a,b)==0时可直接用模板解。

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
	if(b==0){
		x=1,y=0;
		return a;
	}
	int d=exgcd(b,a%b,y,x);
	y-=a/b*x;
	return d;
}

中国剩余定理

$\left\{ \begin{aligned} x\equiv a_1 \pmod {m_1}\\ x\equiv a_2 \pmod {m_2}\\ ...\\ x\equiv a_n \pmod {m_n} \end{aligned} \right.(m_1...m_n两两互质)$
设 $M=\prod_{i=1}^{n}m_i，t_k$ 为 $\frac{M}{m_k}*t_k\equiv1\pmod {m_k}$ 的最小非负整数解
其中 $\forall {_{i!=k}}\frac{M}{m_i}*t_i\equiv0 \pmod {m_i}$
两边 $* a [i]$ 有
$\left\{ \begin{aligned} a_k\frac{M}{m_k}t_i\equiv a_k\pmod {m_k}\\ \forall{_{i!=k}}a_i\frac{M}{m_k}t_i\equiv 0 \pmod {m_i} \end{aligned} \right.$
则有一个解为 $x=\sum_{i=1}^{n}a_i\frac{M}{m_i}t_i$
通解为 $x+kM(k\in Z)$
P3868 [TJOI2009] 猜数字

#include <iostream>
using namespace std;
using ll = long long ;
int n;
ll read(){
    char ch=getchar();
    int f=1;
    while(!isdigit(ch)){
        if(ch=='-')f=-1;
        ch=getchar();
    }
    ll x=0;
    while(isdigit(ch)){
        x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);
        ch=getchar();
    }
    return f*x;
}
ll a[20],b[20];
ll mul(ll a,ll b,ll p){///龟速乘
    ll r=0;
    while(b){
        if(1&b)r=(r+a)%p;
        a=(a+a)%p;
        b>>=1;
    }
    return r;
}
/**
    gcd(a,b)=gcd(b,a%b)
    a*x+b*y=b*x+(a-a/b*b)*y
    a*x+b*y=a*y+b*(x-a/b*y)
*/
void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
    if(b==0){
        x=1,y=0;
        return ;
    }
    exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
}
ll china(){
    ll M=1;
    for(int i=1;i<=n;i++) M*=b[i];
    ll ans=0;
    ll x,y;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        ll tp=M/b[i];
        exgcd(tp,b[i],x,y);
        x=(x%b[i]+b[i])%b[i];
        ans=(ans+mul(mul(tp,x,M),a[i],M))%M;
    }
    return (ans+M)%M;
}
int main()
{
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) b[i]=read(),a[i]=(a[i]%b[i]+b[i])%b[i];
    printf("%lld",china());
    return 0;
}