bzoj 4386: [POI2015]Wycieczki 倍增+矩阵乘法

最新推荐文章于 2020-10-15 21:06:23 发布

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分类专栏：矩阵乘法倍增

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倍增

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本文介绍了一种在特定约束条件下寻找第k短路径的方法。利用二分查找与矩阵乘法优化，实现对大规模带权有向图的有效求解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意

给定一张n个点m条边的带权有向图，每条边的边权只可能是1，2，3中的一种。
将所有可能的路径按路径长度排序，请输出第k小的路径的长度，注意路径不一定是简单路径，即可以重复走同一个点。
1<=n<=40，1<=m<=1000，1<=k<=10^18)

分析

首先要二分答案，然后考虑统计长度不超过mid的路径数。
设 $f_{i,j}$ 表示路径长度为 $i$ 且当前位于点 $j$ 的方案，由于路经长度不超过3，我们只要记录3*n大小的数组就可以转移了。
每次用矩阵乘法优化的话复杂度是 $O(n^3log^2k)$ ，显然过不了。
那么我们可以先预处理出 $bz_i$ 表示 $A^{(2^i)}$ ，其中 $A$ 是转移矩阵，那么每次判定的时候就可以用向量乘矩阵，总的时间复杂度为 $O(n^3log_k+n^2log^2k)$ 。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>

typedef long long LL;

const int N=125;
const LL inf=(LL)1e18;

int n,m,tot;
LL a[N][N],b[N],c[N],bz[65][N][N],bin[65],k;

int point(int x,int y)
{
    return y*n+x;
}

LL check(LL mid)
{
    for (int i=1;i<=tot;i++) b[i]=0;
    for (int i=1;i<=n;i++) b[point(i,2)]=1;
    for (int w=60;w>=0;w--)
        if (mid&bin[w])
        {
            for (int i=1;i<=tot;i++) c[i]=0;
            for (int i=1;i<=tot;i++)
                for (int j=1;j<=tot;j++)
                {
                    LL x=b[j],y=bz[w][j][i];
                    if (!x||!y) continue;
                    LL z=(x<=inf/y)?x*y:inf;
                    c[i]=std::min(inf,c[i]+z);
                }
            for (int i=1;i<=tot;i++) b[i]=c[i];
        }
    return b[tot];
}

int main()
{
    bin[0]=1;
    for (int i=1;i<=60;i++) bin[i]=bin[i-1]*2;
    scanf("%d%d%lld",&n,&m,&k);
    tot=n*3+1;
    for (int i=1;i<=n;i++)
            a[point(i,1)][point(i,0)]=a[point(i,2)][point(i,1)]=1;
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        int x,y,z;scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        a[point(x,3-z)][point(y,2)]++;
        a[point(x,3-z)][tot]++;
    }
    a[tot][tot]=1;
    for (int i=1;i<=tot;i++)
        for (int j=1;j<=tot;j++)
            bz[0][i][j]=a[i][j];
    for (int w=1;w<=60;w++)
        for (int i=1;i<=tot;i++)
            for (int k=1;k<=tot;k++)
                for (int j=1;j<=tot;j++)
                {
                    LL x=bz[w-1][i][k],y=bz[w-1][k][j];
                    if (!x||!y) continue;
                    LL z=(x<=inf/y)?x*y:inf;
                    bz[w][i][j]=std::min(inf,bz[w][i][j]+z);
                }
    LL l=1,r=k*3;
    while (l<=r)
    {
        LL mid=(l+r)/2;
        if (check(mid)>=k) r=mid-1;
        else l=mid+1;
    }
    printf("%lld",r<k*3?r+1:-1);
    return 0;
}