LibreOJ #6160.「美团 CodeM 初赛 Round A」二分图染色 容斥原理+递推

本文探讨了一个完全二分图的匹配问题,通过容斥原理和递推方法,求解了合法匹配方案的数量,并提供了完整的C++实现代码。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

题意

有一个2n个点的完全二分图,现在要把每一条边染成红色,蓝色或绿色,要求任意两条红色边不共享端点,且任意两条蓝色边不共享端点,问合法方案数。
n107n≤107

分析

其实就是要选出两个匹配,使得这两个匹配的交集为空。
考虑容斥,设fnfn表示2n2n个点的二分完全图的匹配数量,那么答案就是

i=0n(1)iCinAin(fni)2∑i=0n(−1)iCniAni(fn−i)2

问题在于如何求fnfn
不难得到
fn=i=0nCinAinfn=∑i=0nCniAni

但现在对于每个1in1≤i≤n都要求fnfn,显然不能每次O(n)O(n)求。
考虑递推,我们把二分图看成一个nnn∗n的矩阵,现在可以选出若干个点,使得每一行或每一列至多有一个点被选。
如果由fn1fn−1递推过来的话,考虑在新增的2n12n−1个格子里选某个或一个都不选,方案就是2nfn12n∗fn−1,但如果第n行和第n列同时有格子被选的话,就会算重,所以还要减去(n1)2fn2(n−1)2∗fn−2,所以有
fn=2nfn1(n1)2fn2fn=2n∗fn−1−(n−1)2∗fn−2

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>

typedef long long LL;

const int N=10000005;
const int MOD=1000000007;

int n,ny[N],jc[N],f[N];

int C(int n,int m)
{
    return (LL)jc[n]*ny[m]%MOD*ny[n-m]%MOD;
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    jc[0]=jc[1]=ny[0]=ny[1]=1;
    for (int i=2;i<=n;i++) jc[i]=(LL)jc[i-1]*i%MOD,ny[i]=(LL)(MOD-MOD/i)*ny[MOD%i]%MOD;
    for (int i=2;i<=n;i++) ny[i]=(LL)ny[i-1]*ny[i]%MOD;
    f[0]=1;f[1]=2;
    for (int i=2;i<=n;i++) f[i]=((LL)f[i-1]*i*2%MOD-(LL)f[i-2]*(i-1)%MOD*(i-1)%MOD)%MOD;
    int ans=0;
    for (int i=0;i<=n;i++)
        if (i&1) (ans-=(LL)C(n,i)*C(n,i)%MOD*jc[i]%MOD*f[n-i]%MOD*f[n-i]%MOD)%=MOD;
        else (ans+=(LL)C(n,i)*C(n,i)%MOD*jc[i]%MOD*f[n-i]%MOD*f[n-i]%MOD)%=MOD;
    printf("%d",(ans+MOD)%MOD);
    return 0;
}
评论
添加红包

请填写红包祝福语或标题

红包个数最小为10个

红包金额最低5元

当前余额3.43前往充值 >
需支付:10.00
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明:

1.余额是钱包充值的虚拟货币,按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载,可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值