Codeforces 997D Cycles in product 点分治+dp

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点分治

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本文介绍了一种解决特定图论问题的算法：在给定两棵树的情况下，如何有效地计算新图中所有长度为k的环的数量。通过点分治策略和卷积优化，文章详细解释了算法的设计思路及实现过程。

题意

有两棵树 $T_1$ 和 $T_2$ ，大小分别为 $n_1,n_2$ 。构造一个新图，其中的每个节点有二元组 $(u,v)(1≤u≤n1,1≤v≤n2)(u,v)(1\le u\le n_1,1\le v\le n_2)$ 表示。 $u,v_1),(u,v_2)$ 相邻当且仅当在 $T_2$ 中 $v_1,v_2$ 相邻。 $u_1,v),(u_2,v)$ 相邻当且仅当在 $T_1$ 中 $u_1,u_2$ 相邻。问新图中有多少个不同的长度为 $k$ 的环。
$n1,n2≤4000,k≤75n_1,n_2\le 4000,k\le 75$ 。

分析

实际上就是在每棵树上分别走。如果我们能对每棵树求出 $step_i$ 表示长度为 $i$ 的环的数量的话，就可以很容易求出答案，问题在于 $step_i$ 怎么求。
考虑点分治，然后求所有经过分治中心 $c$ 的环。
设 $f_{i,x}$ 表示从 $c$ 开始走了 $i$ 步走到 $x$ ，且除了一开始以外不经过 $c$ 的方案数， $g_{i,x}$ 表示从 $c$ 开始走了 $i$ 步走到 $x$ 的方案数。
转移比较显然，那么对于某个点 $x$ ，从 $x$ 开始走，经过 $c$ 的大小为 $i$ 的环的数量就是 $∑j=0ifj,x∗gi−j,x\sum_{j=0}^if_{j,x}*g_{i-j,x}$
这里可以看成是枚举第一次到达 $c$ 是在第几步，然后后面随便走。需要特判 $x$ 就是分治中心的情况。
这样的话总的时间复杂度就是 $O(nk^2\log n)$ ，如果用FFT来优化卷积的话可以做到 $O(nklog⁡nlog⁡k)O(nk\log n\log k)$ 。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>

typedef long long LL;

const int N=4005;
const int M=80;
const int MOD=998244353;

int m,jc[M],ny[M];

struct Tree
{
	int n,cnt,last[N],f[M][N],g[M][N],size[N],ans[M],w[N],tot,a[N],sum,root;
	bool vis[N];
	struct edge{int to,next;}e[N*2];
	
	void addedge(int u,int v)
	{
		e[++cnt].to=v;e[cnt].next=last[u];last[u]=cnt;
		e[++cnt].to=u;e[cnt].next=last[v];last[v]=cnt;
	}
	
	void get_root(int x,int fa)
	{
		size[x]=1;w[x]=0;
		for (int i=last[x];i;i=e[i].next)
		{
			if (e[i].to==fa||vis[e[i].to]) continue;
			get_root(e[i].to,x);
			size[x]+=size[e[i].to];
			w[x]=std::max(w[x],size[e[i].to]);
		}
		w[x]=std::max(w[x],sum-size[x]);
		if (!root||w[x]<w[root]) root=x;
	}
	
	void get(int x,int fa)
	{
		a[++tot]=x;size[x]=1;
		for (int i=last[x];i;i=e[i].next)
			if (e[i].to!=fa&&!vis[e[i].to]) get(e[i].to,x),size[x]+=size[e[i].to];
	}
	
	void calc(int x)
	{
		tot=0;get(x,0);
		for (int i=1;i<=tot;i++) f[0][a[i]]=0;
		f[0][x]=g[0][x]=1;
		for (int i=1;i<=m;i++)
			for (int j=1;j<=tot;j++)
			{
				int y=a[j];
				f[i][y]=g[i][y]=0;
				for (int k=last[y];k;k=e[k].next)
				{
					if (vis[e[k].to]) continue;
					(g[i][y]+=g[i-1][e[k].to])%=MOD;
					if (y!=x) (f[i][y]+=f[i-1][e[k].to])%=MOD;
				}
			}
		for (int i=1;i<=tot;i++)
		{
			int y=a[i];
			if (y==x)
			{
				for (int j=0;j<=m;j++) (ans[j]+=g[j][x])%=MOD;
				continue;
			}
			for (int j=0;j<=m;j++)
				for (int k=0;j+k<=m;k++)
					(ans[j+k]+=(LL)f[j][y]*g[k][y]%MOD)%=MOD;
		}
		vis[x]=1;
		for (int i=last[x];i;i=e[i].next)
		{
			if (vis[e[i].to]) continue;
			root=0;sum=size[e[i].to];
			get_root(e[i].to,x);
			calc(root);
		}
	}
	
	void solve()
	{
		sum=n;root=0;
		get_root(1,0);
		calc(root);
	}
}t1,t2;

int C(int n,int m)
{
	return (LL)jc[n]*ny[m]%MOD*ny[n-m]%MOD;
}

int main()
{
	scanf("%d%d%d",&t1.n,&t2.n,&m);
	jc[0]=jc[1]=ny[0]=ny[1]=1;
	for (int i=2;i<=m;i++) jc[i]=(LL)jc[i-1]*i%MOD,ny[i]=(LL)(MOD-MOD/i)*ny[MOD%i]%MOD;
	for (int i=2;i<=m;i++) ny[i]=(LL)ny[i-1]*ny[i]%MOD;
	for (int i=1;i<t1.n;i++)
	{
		int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);
		t1.addedge(x,y);
	}
	for (int i=1;i<t2.n;i++)
	{
		int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);
		t2.addedge(x,y);
	}
	t1.solve();t2.solve();
	int s=0;
	for (int i=0;i<=m;i++)
		(s+=(LL)t1.ans[i]*t2.ans[m-i]%MOD*C(m,i)%MOD)%=MOD;
	printf("%d",s);
	return 0;
}