bzoj 4714: 旋转排列容斥原理

最新推荐文章于 2020-01-13 20:23:43 发布

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分类专栏：容斥原理

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本文探讨了在特定条件下计算置换组合数量的问题。利用容斥原理，通过枚举不同大小的轮换来求解长度为n的错排数量，最终得出满足条件的置换总数。算法的时间复杂度为O(nlogn)。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意

这里写图片描述
$n\le500000$

分析

实际上就是对于每个 $i$ ，求有多少大小为 $n$ 的置换满足不存在大小为 $1$ 的轮换且存在大小为 $i$ 的轮换。
考虑用容斥来求 $ans_i$ ，设 $f[i]$ 表示长度为 $i$ 的错排数量，枚举大小为 $i$ 的轮换个数 $j$ 不难得到

a n s_{i} = \sum_{j = 1}^{⌊ \frac{n}{i} ⌋} \frac{((i - 1)!)^{j} * f [n - i j] * \prod_{k = 0}^{j - 1} C_{n - i k}^{i}}{(j - 1)!}

$ans_i=\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{n}{i}\rfloor}\frac{((i-1)!)^j*f[n-ij]*\prod_{k=0}^{j-1}C_{n-ik}^i}{(j-1)!}$
复杂度为

O(nlogn)O(nlogn) $O(nlogn)$

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>

typedef long long LL;

const int N=500005;
const int MOD=1000000007;

int n,jc[N],ny[N],f[N];

int C(int n,int m)
{
    return (LL)jc[n]*ny[m]%MOD*ny[n-m]%MOD;
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    jc[0]=jc[1]=ny[0]=ny[1]=1;
    for (int i=2;i<=n;i++) jc[i]=(LL)jc[i-1]*i%MOD,ny[i]=(LL)(MOD-MOD/i)*ny[MOD%i]%MOD;
    for (int i=2;i<=n;i++) ny[i]=(LL)ny[i-1]*ny[i]%MOD;
    f[0]=f[2]=1;
    for (int i=3;i<=n;i++) f[i]=(LL)(i-1)*(f[i-1]+f[i-2])%MOD;
    int ans=0;
    for (int i=2;i<=n;i++)
    {
        int w=1;
        for (int j=1;j*i<=n;j++)
        {
            w=(LL)w*C(n-i*(j-1),i)%MOD*jc[i-1]%MOD;
            if (j&1) (ans+=(LL)w*f[n-i*j]%MOD*ny[j]%MOD)%=MOD;
            else (ans+=MOD-(LL)w*f[n-i*j]%MOD*ny[j]%MOD)%=MOD;
        }
    }
    printf("%d",ans);
    return 0;
}