4714: 旋转排列容斥原理

最新推荐文章于 2021-08-22 22:14:10 发布

200815147

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分类专栏：容斥

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本文介绍了一种使用容斥原理解决特定排列组合问题的方法。通过构建图模型，问题被转换为计算不同长度环的个数。文章详细解释了算法步骤，并提供了完整的C++实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题解：

考试时脑子不清醒啊，搞了很久……其实是个普通的容斥。问题可以转化为，若每个点 $i$ 都向 $p_i$ 连边，一种方案的贡献就是这个图中不同长度的环的个数。那么我们可以枚举环的长度 $i$ ，然后再算至少有 $j$ 个环的方案，容斥即可。具体的算法如下：比如至少有 $3$ 个长度为 $2$ 的环的方案数，一共有 $n$ 个点，可以这样算： $C_n^2\times C_{n-2}^2\times C_{n-4}^2\times fac[2-1]^3\times f[n-6]\div fac[3]$ ， $fac[i]$ 表示 $i!$ ， $f[i]$ 表示个数错排的方案数，其中前三个组合数的乘积表示选点的方案数，中间的阶乘的乘方是每个环中不同方法的方案数，因为是环，要固定一个起点，所以是点数-1的阶乘，错排是剩下的点合法方案的数量，最后除的阶乘是因为不考虑环与环之间的顺序。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
#define pa pair<int,int>
const int Maxn=500010;
const int mod=1000000007;
const int inf=2147483647;
int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48),ch=getchar();
    return x*f;
}
int n,f[Maxn],fac[Maxn],fin[Maxn],inv[Maxn];
void pre()
{
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)fac[i]=(LL)fac[i-1]*i%mod;
    inv[0]=inv[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)inv[i]=(LL)(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
    fin[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)fin[i]=(LL)fin[i-1]*inv[i]%mod;
    f[0]=1,f[1]=0,f[2]=1;
    for(int i=3;i<=n;i++)f[i]=(LL)(i-1)*((f[i-1]+f[i-2])%mod)%mod;
}
int C(int n,int m)
{
    if(n<m)return 0;
    return (LL)fac[n]*fin[m]%mod*fin[n-m]%mod;
}
int main()
{
    n=read();
    pre();
    int ans=0;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        int t=0,x=1,mx=n/i;
        for(int j=1;i*j<=n;j++)
        {
            int rest=n-i*j;
            x=(LL)x*C(n-(j-1)*i,i)%mod*fac[i-1]%mod;
            if(j&1)t=(LL)(t+(LL)fin[j]*x%mod*f[rest]%mod)%mod;
            else t=(LL)(t-(LL)fin[j]*x%mod*f[rest]%mod+mod)%mod;
        }
        ans=(ans+t)%mod;
    }
    printf("%d",ans);
}