Codeforces 906D Power Tower 拓展欧拉定理

最新推荐文章于 2024-07-17 21:34:37 发布

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分类专栏：数论

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本文介绍了一种处理区间价值查询的高效算法，通过预处理和递归应用欧拉定理来解决大规模序列上的复杂查询问题。适用于序列长度较大且模数范围广泛的应用场景。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意

定义一个序列w[1..n]的价值为这里写图片描述
给出一个长度为n的序列w，每次询问一个区间[l,r]的价值模m。
$n\le200000,1\le m\le10^9$

分析

首先注意到，若序列中某个数为1，那么从这一位开始后面的元素全部是没用的。那么我们可以先把这部分去掉，这样序列中的全部元素都大于1。
定义函数 $solve(l,r,mo)$ 表示询问 $[l,r]$ 的权值模 $mo$ 的值。
根据拓展欧拉定理，可以先把 $\varphi(mo)$ 求出来，然后递归 $solve(l+1,r,\varphi(mo))$ 。
在回溯的时候，需要知道递归求出的值是否小于 $\varphi(mo)$ ，这时可以在运算的时候记录一个布尔变量，表示运算得出的值是否大于一个常数inf，若大于则取模，否则就先不取模。
注意到一个数最多取 $O(log)$ 次 $\varphi$ 后就会变为1，那么我们可以先把每次递归的模数求出来，那么最多递归 $O(log)$ 层模数就会变为1。
这时，如果还剩下超过4层需要递归，不难发现这一定是一个很大很大的值，这时就可以直接退出，否则的话就递归下去。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

typedef long long LL;

const int N=100005;
const LL inf=1000000000;

int n,m,w[N],tot,a[105],nx[N];
bool flag;

int ksm(int x,int y,int mo)
{
    int ans=1;bool f1=0;
    while (y)
    {
        if (y&1)
        {
            flag|=((LL)ans*x>inf)|f1;
            if (flag) ans=(LL)ans*x%mo;
            else ans*=x;
        }
        f1|=((LL)x*x>inf);
        if (f1||flag) x=(LL)x*x%mo;
        else x*=x;
        y>>=1;
    }
    return ans;
}

int get_phi(int n)
{
    int ans=n;
    for (int i=2;i*i<=n;i++)
        if (n%i==0)
        {
            ans=ans/i*(i-1);
            while (n%i==0) n/=i;
        }
    if (n>1) ans=ans/n*(n-1);
    return ans;
}

int solve(int d,int l,int r)
{
    int mo=a[d];
    if (l==r)
    {
        if (w[l]>inf) {flag=1;return w[l]%mo;}
        else return w[l];
    }
    if (d==tot&&r-l+1>10) {flag=1;return 0;}
    int phi=a[d+1],x=solve(min(tot,d+1),l+1,r);
    if (flag) x+=phi;
    else if (x>=phi) x=x%phi+phi;
    return ksm(w[l],x,mo);
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    a[0]=m;
    while (a[tot]>1) tot++,a[tot]=get_phi(a[tot-1]);
    a[tot+1]=1;
    for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&w[i]);
    int q;scanf("%d",&q);
    nx[n+1]=n+1;
    for (int i=n;i>=1;i--) nx[i]=(w[i]==1)?i:nx[i+1];
    while (q--)
    {
        int l,r;scanf("%d%d",&l,&r);
        int tmp=nx[l];
        if (tmp<=r) r=tmp-1;
        if (l>r) puts(m>1?"1":"0");
        else flag=0,printf("%d\n",solve(0,l,r)%m);
    }
    return 0;
}