题意
有m张凳子,第i张凳子的坐标为i。现在有n个人,第i个人可以选的凳子的编号不能大于Li或不能小于Ri。问最少添加多少张凳子才能使得每个人都有凳子坐。
n,m<=200000
分析
霍尔定理:若二分图G存在完美匹配,则对于X部的任意一个子集,和该子集有连边的Y部的点数不能小于该子集大小。
霍尔定理同样可以用于求最大匹配:设Γ(X)Γ(X)表示与集合X有连边的Y部的点数。那么最大匹配就是X部的点数减去max(|X|−Γ(X))max(|X|−Γ(X))。
证明的话,大概就是我们要删掉最少的点使得其存在完美匹配。取到max的集合X肯定是不满足的,然后其至少要删掉|X|−Γ(X)|X|−Γ(X)这么多的点。
知道这个的话这题就很简单了。
不难发现我们选的Y部点一定是一个前缀和一个后缀,只要枚举前缀,然后用线段树维护一下就好了。
代码
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#define pb(x) push_back(x)
using namespace std;
const int N=200005;
int n,m;
struct tree{int mx,tag;}t[N*4];
vector<int> vec[N];
int read()
{
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while (ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while (ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
void pushdown(int d)
{
int w=t[d].tag;t[d].tag=0;
t[d*2].mx+=w;t[d*2].tag+=w;
t[d*2+1].mx+=w;t[d*2+1].tag+=w;
}
void build(int d,int l,int r)
{
if (l==r) {t[d].mx=-(m-l+1);return;}
int mid=(l+r)/2;
build(d*2,l,mid);build(d*2+1,mid+1,r);
t[d].mx=max(t[d*2].mx,t[d*2+1].mx);
}
void ins(int d,int l,int r,int x,int y)
{
if (l<r) pushdown(d);
if (l==x&&r==y) {t[d].mx++;t[d].tag++;return;}
int mid=(l+r)/2;
if (y<=mid) ins(d*2,l,mid,x,y);
else if (x>mid) ins(d*2+1,mid+1,r,x,y);
else ins(d*2,l,mid,x,mid),ins(d*2+1,mid+1,r,mid+1,y);
t[d].mx=max(t[d*2].mx,t[d*2+1].mx);
}
int query(int d,int l,int r,int x,int y)
{
if (l<r) pushdown(d);
if (l==x&&r==y) return t[d].mx;
int mid=(l+r)/2;
if (y<=mid) return query(d*2,l,mid,x,y);
else if (x>mid) return query(d*2+1,mid+1,r,x,y);
else return max(query(d*2,l,mid,x,mid),query(d*2+1,mid+1,r,mid+1,y));
}
int main()
{
n=read();m=read();
for (int i=1;i<=n;i++)
{
int x=read(),y=read();
vec[x].pb(y);
}
build(1,0,m+1);
int ans=n-m;
for (int i=0;i<m;i++)
{
for (int j=0;j<vec[i].size();j++) ins(1,0,m+1,0,vec[i][j]);
ans=max(ans,query(1,0,m+1,i+2,m+1)-i);
}
printf("%d",ans);
return 0;
}