AtCoder Regular Contest 076 F - Exhausted? 霍尔定理+线段树

最新推荐文章于 2024-05-25 12:18:24 发布

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博客介绍了如何利用霍尔定理和线段树解决一个关于凳子分配的问题。在给定m张凳子和n个人的限制条件下，需要找出最少添加多少张凳子，使得每个人都能找到合适的凳子坐。通过霍尔定理分析最大匹配，并采用线段树进行高效求解，文章详细阐述了问题分析和代码实现过程。

题意

有m张凳子，第i张凳子的坐标为i。现在有n个人，第i个人可以选的凳子的编号不能大于Li或不能小于Ri。问最少添加多少张凳子才能使得每个人都有凳子坐。
n,m<=200000

分析

霍尔定理：若二分图G存在完美匹配，则对于X部的任意一个子集，和该子集有连边的Y部的点数不能小于该子集大小。
霍尔定理同样可以用于求最大匹配：设 $\Gamma(X)$ 表示与集合X有连边的Y部的点数。那么最大匹配就是X部的点数减去 $max(|X|-\Gamma(X))$ 。
证明的话，大概就是我们要删掉最少的点使得其存在完美匹配。取到max的集合X肯定是不满足的，然后其至少要删掉 $|X|-\Gamma(X)$ 这么多的点。
知道这个的话这题就很简单了。
不难发现我们选的Y部点一定是一个前缀和一个后缀，只要枚举前缀，然后用线段树维护一下就好了。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#define pb(x) push_back(x)
using namespace std;

const int N=200005;

int n,m;
struct tree{int mx,tag;}t[N*4];
vector<int> vec[N];

int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while (ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while (ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}

void pushdown(int d)
{
    int w=t[d].tag;t[d].tag=0;
    t[d*2].mx+=w;t[d*2].tag+=w;
    t[d*2+1].mx+=w;t[d*2+1].tag+=w;
}

void build(int d,int l,int r)
{
    if (l==r) {t[d].mx=-(m-l+1);return;}
    int mid=(l+r)/2;
    build(d*2,l,mid);build(d*2+1,mid+1,r);
    t[d].mx=max(t[d*2].mx,t[d*2+1].mx);
}

void ins(int d,int l,int r,int x,int y)
{
    if (l<r) pushdown(d);
    if (l==x&&r==y) {t[d].mx++;t[d].tag++;return;}
    int mid=(l+r)/2;
    if (y<=mid) ins(d*2,l,mid,x,y);
    else if (x>mid) ins(d*2+1,mid+1,r,x,y);
    else ins(d*2,l,mid,x,mid),ins(d*2+1,mid+1,r,mid+1,y);
    t[d].mx=max(t[d*2].mx,t[d*2+1].mx);
}

int query(int d,int l,int r,int x,int y)
{
    if (l<r) pushdown(d);
    if (l==x&&r==y) return t[d].mx;
    int mid=(l+r)/2;
    if (y<=mid) return query(d*2,l,mid,x,y);
    else if (x>mid) return query(d*2+1,mid+1,r,x,y);
    else return max(query(d*2,l,mid,x,mid),query(d*2+1,mid+1,r,mid+1,y));
}

int main()
{
    n=read();m=read();
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        int x=read(),y=read();
        vec[x].pb(y);
    }
    build(1,0,m+1);
    int ans=n-m;
    for (int i=0;i<m;i++)
    {
        for (int j=0;j<vec[i].size();j++) ins(1,0,m+1,0,vec[i][j]);
        ans=max(ans,query(1,0,m+1,i+2,m+1)-i);
    }
    printf("%d",ans);
    return 0;
}