快速沃尔什变换学习小记

定义

$A$和$B$均是长度为$n=2^k$的数组。定义$A_0$为这个数组的前$2^{n-1}$项，$A_1$为这个数组的后$2^{n-1}$项，那么有$A=(A_0,A_1)$。
$A+B=(A[0]+B[0],A[1]+B[1],...,A[n-1]+B[n-1])$
$A\ast B=(A[0]\ast B[0],A[1]\ast B[1],...,A[n-1]\ast B[n-1])$
$A@B=({\sum }_{i@j=0}A[i]\ast B[j],{\sum }_{i@j=1}A[i]\ast B[j],...,{\sum }_{i@j=n-1}A[i]\ast B[j])$

目标

给出$A,B$，求$C=A@B$。

快速沃尔什变换

快速沃尔什变换（简称FWT），就是用来解决这样一类问题的算法。其中$@$运算可以是异或，与，或之类的位运算。
这里主要介绍异或运算。

XOR

根据异或运算的性质，不难得到$A@B=(A_0\oplus B_0+A_1\oplus B_1,A_0\oplus B_1+A_1\oplus B_0)$。
且不难验证$\oplus$运算满足交换律，分配律和结合律。
定义运算$Fwt(A)$为
$$Fwt(A)=\{\begin{array}{ll}(Fwt(A_0+A_1),Fwt(A_0-A_1))& n>1\\ A& n=1\end{array}$$

性质1

$Fwt(A+B)=Fwt(A)+Fwt(B)$
证明：不难发现$Fwt(A)$的每一项都是$A$的一个线性组合，故满足加法分配律。

性质2

$Fwt(A\oplus B)=Fwt(A)\ast Fwt(B)$
证明：用数学归纳法来证。
当$n=1$时显然成立。
当$n>1$时有
$Fwt(A\oplus B)$

$=Fwt(A_0\oplus B_0+A_1\oplus B_1,A_0\oplus B_1+A_1\oplus B_0)$

$=(Fwt(A_0\oplus B_0+A_1\oplus B_1+A_0\oplus B_1+A_1\oplus B_0),Fwt(A_0\oplus B_0+A_1\oplus B_1-A_0\oplus B_1-A_1\oplus B_0))$

$=(Fwt((A_0+A_1)\oplus (B_0+B_1)),Fwt((A_0-A_1)\oplus (B_0-B_1)))$

$=(Fwt(A_0+A_1)\ast Fwt(B_0+B_1),Fwt(A_0-A_1)\ast Fwt(B_0-B_1))$

$=(Fwt(A{)}_0\ast Fwt(B{)}_0,Fwt(A{)}_1\ast Fwt(B{)}_1)$

$=Fwt(A)\ast Fwt(B)$
证毕。

逆变换

$Dwt(Fwt(A))$

$=Dwt(Fwt(A_0+A_1),Fwt(A_0-A_1))$

$=Dwt(Fwt(A_0)+Fwt(A_1),Fwt(A_0)-Fwt(A_1))$

令$Dwt(A)=(Dwt(\frac{A_0+A_1}{2}),Dwt(\frac{A_0-A_1}{2}))$

那么有$Dwt(Fwt(A))$

$=(Dwt(Fwt(A_0)),Dwt(Fwt(A_1)))$

$=(A_0,A_1)$

求解

在求解$C=A\oplus B$的时候，可以先对$A$和$B$分别做$Fwt$，得到$A^{\prime }$和$B^{\prime }$。
设$C^{\prime }=A^{\prime }\ast B^{\prime }$，那么$C=Dwt(C^{\prime })$。
时间复杂度$O(nlogn)$。

代码

void fwt(int *a,int l,int r)
{
	if (l==r) return;
	int n=(r-l+1)/2,mid=l+n-1;
	fwt(a,l,mid);fwt(a,mid+1,r);
	for (int i=l;i<=mid;i++)
	{
		int x=a[i],y=a[i+n];
		a[i]=x+y;a[i+n]=x-y；
	}
}

void dwt(int *a,int l,int r)
{
	if (l==r) return;
	int n=(r-l+1)/2,mid=l+n-1;
	dwt(a,l,mid);dwt(a,mid+1,r);
	for (int i=l;i<=mid;i++)
	{
		int x=a[i],y=a[i+n];
		a[i]=(x+y)/2;a[i+n]=(x-y)/2;
	}
}

AND

当$@$为与运算的时候，通过上述方法不难验证
$Fwt(A)=(Fwt(A_0+A_1),Fwt(A_1))$
$Dwt(A)=(Dwt(A_0-A_1),Fwt(A_1))$

OR

当$@$为或运算的时候，通过类比与运算不难验证
$Fwt(A)=(Fwt(A_0),Fwt(A_0+A_1))$
$Dwt(A)=(Dwt(A_0),Dwt(A_1-A_0))$