快速沃尔什变换——FWT学习小记

用途

• FWT主要解决这样的问题，给出A(x)，B(x)，求$C_k=\sum_{i\otimes j=k}A_iB_j$，其中$\otimes$表示and（按位与）/or（按位或）/xor（按位异或）运算中的一种。

定义

• 首先，A(x)可以表示成一个n维向量$(a_0,a_1,...,a_{n-1})$。
• 定义向量间的加法为按位加，即：$A(x)+B(x)=(a_0+b_0,a_1+b_1,...,a_{n-1}+b_{n-1})$。
• 乘法亦为按位乘：$A(x)B(x)=(a_0b_0,a_1b_1,...,a_{n-1}b_{n-1})$。
• 记$A(x)\otimes B(x)=C(x)$，C(x)即我们要求的n维向量。
• 不妨将n扩大为某个2的幂次，这样便方便定义：
  $$A_0(x)=(a_0,a_1,...,a_{n/2-1}),A_1(x)=(a_{n/2},...,a_{n-2},a_{n-1})$$

变换与逆变换

• 设若我们构造了一个变换tf（tf也是一个n维向量），满足当n=1时$tf(A)=a_0$，并且$tf(A)tf(B)=tf(C)$，且可在较短时间内进行变换tf及其逆变换utf，那么我们便可以搞事了。
• 并且，这个变换确实是存在的，不知道哪个大犇想出来的。
• 虽说不知道怎么想出来的，但证还是会证的，可以使用数学归纳法。

XOR

$tf(A)=(tf(A_0)+tf(A_1),tf(A_0)-tf(A_1))$
$utf(A)=(\frac{utf(A_0+A_1)}2,\frac{utf(A_0-A_1)}2)$

AND

$tf(A)=(tf(A_0)+tf(A_1),tf(A_1))$
$utf(A)=(utf(A_0)-utf(A_1),utf(A_1))$

OR

$tf(A)=(tf(A_0),tf(A_1)+tf(A_0))$
$utf(A)=(utf(A_0),utf(A_1)-utf(A_0))$

算法流程

• 至此，我们获悉了变换tf与逆变换utf的求法。
• 那么，我们可以先求出tf(A)，再求出tf(B)。tf(A)的求法可以递归分治下去，递归到n=1的那一层就直接返回$a_x$。时间复杂度是$O(nlog_2n)$的。
• 求完之后，两者相乘（按位乘）即为tf(C)。那么，直接套用逆变换，$utf(tf(C))=C$。至于utf的计算，同样也是分治解决。

例题

Codeforces 662C Binary Table