AtCoder Regular Contest 071 F - Infinite Sequence 动态规划

这篇博客介绍了AtCoder Regular Contest 071的F题，题目要求找到满足特定条件的无限长度数组的数量。通过分析问题的条件，博主提出动态规划的解决方案，其中关键在于理解数组的性质并建立状态转移方程。最终，博主给出了实现该算法的代码片段。

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题意

问有多少个无限长度的数组要满足以下条件
1. 数组仅包含1, 2, 3, …, n
2. 如果n <= i, j，那么ai = aj
3. 如果i < j < k <= i + ai，那么aj = ak
答案对1e9 + 7 取模
1 <= n <= 10^6

分析

根据第二个条件可以得出这其实就是一个长度为n的数组。。。
接着分析一下第三个条件的性质：
如果a[i] > 1，且a[i+1] > 1，那么a[i+1…n]均等于a[i+1]。若a[i+1]=1，则a[i+1…i+a[i]]=1。
考虑dp，设f[i]表示一个长度为i的数组，且第i+1位可以任意放的方案。
分析一下不难发现 $f[i]=(\sum_{j=1}^{i-1}f[j])-f[i-2]$ 。也就是枚举i前面第一个k满足a[k] > 1的位置。
$ans=f[n]+f[n-1]*(n-1)+\sum_{i=0}^{n-2}f[i]*((n-1)*(n-1)+i+1)$
也就是枚举最后一个k满足a[k+1…n]都已经被确定。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

typedef long long LL;

const int N=1000005;
const int MOD=1000000007;

int n,f[N],s[N];

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    f[1]=f[2]=f[0]=s[0]=1;s[1]=2;s[2]=3;
    for (int i=3;i<=n;i++)
    {
        f[i]=f[i-1]+s[i-3];
        f[i]-=f[i]>=MOD?MOD:0;
        s[i]=s[i-1]+f[i];
        s[i]-=s[i]>=MOD?MOD:0;
    }
    int ans=f[n];
    ans+=(LL)f[n-1]*(n-1)%MOD;
    ans-=ans>=MOD?MOD:0;
    for (int i=0;i<=n-2;i++) ans+=(LL)f[i]*((LL)(n-1)*(n-1)%MOD+i+1)%MOD,ans-=ans>=MOD?MOD:0;
    printf("%d",ans);
    return 0;
}