题意
给出一个长度为N的数列{a[n]},1<=a[i]<=M(1<=i<=N)。
现在问题是,对于1到M的每个整数d,有多少个不同的数列b[1], b[2], …, b[N],满足:
(1)1<=b[i]<=M(1<=i<=N);
(2)gcd(b[1], b[2], …, b[N])=d;
(3)恰好有K个位置i使得a[i]<>bi
注:gcd(x1,x2,…,xn)为x1, x2, …, xn的最大公约数。
输出答案对1,000,000,007取模的值。
1<=N,M<=300000, 1<=K<=N, 1<=a[i]<=M。
分析
首先求
gcd=d
的序列数量可以变成求
d|gcd
的序列数量,然后通过容斥或反演之类的鬼东西在
O(nlogn)
时间内把答案求出。
那么现在要求的就是
d|gcd
的序列数量。
假设A中有s个元素满足
d|s
,那么我们要从中选出n-k个元素使得
d|gcd
,然后把剩下的都变成不同于原来的数且同样满足
d|gcd
。
设k=n-k,那么要求的东西即为
Cks∗⌊md⌋n−s∗(⌊md⌋−1)s−k
代码
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=300005;
const int MOD=1000000007;
int n,m,k,d[N],prime[N],tot,mu[N],t[N],jc[N],ny[N];
bool not_prime[N];
int ksm(int x,int y)
{
int ans=1;
while (y)
{
if (y&1) ans=(LL)ans*x%MOD;
x=(LL)x*x%MOD;y>>=1;
}
return ans;
}
void get_prime(int n)
{
mu[1]=1;
for (int i=2;i<=n;i++)
{
if (!not_prime[i]) prime[++tot]=i,mu[i]=-1;
for (int j=1;j<=tot&&i*prime[j]<=n;j++)
{
not_prime[i*prime[j]]=1;
if (i%prime[j]==0) break;
mu[i*prime[j]]=-mu[i];
}
}
}
void prework()
{
get_prime(m);
jc[0]=ny[0]=1;
for (int i=1;i<=n;i++)
{
jc[i]=(LL)jc[i-1]*i%MOD;
ny[i]=ksm(jc[i],MOD-2);
}
}
int main()
{
scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
k=n-k;
for (int i=1;i<=n;i++)
{
int x;
scanf("%d",&x);
t[x]++;
}
prework();
for (int i=1;i<=m;i++)
{
int s=0;
for (int j=i;j<=m;j+=i) s+=t[j];
if (s>=k) d[i]=(LL)jc[s]*ny[k]%MOD*ny[s-k]%MOD*ksm(m/i,n-s)%MOD*ksm(m/i-1,s-k)%MOD;
}
for (int i=1;i<=m;i++)
{
int ans=0;
for (int j=i;j<=m;j+=i) ans=(ans+d[j]*mu[j/i])%MOD;
printf("%d",(ans+MOD)%MOD);
if (i<m) putchar(' ');
}
return 0;
}