【数学】gcd

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本文探讨了求最大公约数（gcd）的四种方法：枚举法、分解素因数、欧几里得算法（辗转相除法）和高精度gcd（更相减损术）。其中欧几里得算法具有O(log(a+b))的时间复杂度优势。同时，介绍了针对不同情况的gcd计算策略，并给出了例题 luoguP2152[SDOI2009]SuperGCD。

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1.枚举法

从min（a,b）到1枚举，判断，复杂度O(min(a,b))

2.分解素因数

在这里插入图片描述

 int Decompose(int a,int b){
 int ans = 1;
	for(int x = 2; x * x <= min(a,b); x++){
		while(a % x == 0 && b % x == 0){a /= x;b /= x;ans *= x;}
		while(a % x == 0) a /= x;
		while(b % x == 0) b /= x;
	} 
     if(a % b == 0) ans *= b;
	else if(b % a == 0) ans *= a;
	return ans;
 }

3.欧几里得算法（辗转相除法）

int gcd(int a,int b){
	if (b == 0) return a;
	else return gcd(b,a % b);
 }

时间复杂度O（log（a+b））

4.高精度gcd（更相减损术）

不妨设a<=b，则有：
1.a=b时， gcd（a，b）=a；
2.a，b均为偶数时，gcd（a，b）=2*gcd（a/2，b/2）；
3.a为偶，b为奇时，gcd（a，b）=gcd（a/2，b）；
4.a为奇，b为偶时，gcd（a，b）=gcd（a，b/2）；
5.a,b均为奇数时，gcd（a，b）=gcd（a-b，b）；

例题

luoguP2152[SDOI2009]SuperGCD

#include<bits/stdc++.h>
#define str strlen 
#define ll long long 
using namespace std;
struct huge{
    int num[10010];
    int len;
};
huge a,b;
char d[10010];char c[10010];
void print(huge x){
    for(int i=x.len-1;i>=0;i--) cout<<x.num[i];
//	cout<<endl;
}
int smp (huge x,huge y){
    if(x.len>y.len)   return 1;
    if(x.len<y.len)   return 2;
    for(int i=x.len-1;i>=0;i--){
        if(x.num[i]>y.num[i]) return 1;
        if(x.num[i]<y.num[i]) return 2;
    }
    return 3;
}
huge ch(huge x){
    int plus=0;
    for(int i=0;i<=x.len-1;i++){
    	x.num[i]*=2;
    	x.num[i]+=plus;plus=0;
    	if(x.num[i]>=10){
    		plus=x.num[i]/10;
            x.num[i]%=10;
        }
    }
    if(plus!=0){
        x.len++;
        x.num[x.len-1]=plus;
    } 
    return x;
}
huge chu(huge x){
    for(int i=x.len-1;i>=0;i--){
        if(x.num[i]%2==1){
            x.num[i]--;
            x.num[i-1]+=10;
        }
        x.num[i]/=2;
    }
    while(x.num[x.len-1]==0&&x.len>1) x.len--;
    return x;
}
huge minu(huge x,huge y){
    for(int i=0;i<x.len;i++){
        if(x.num[i]<y.num[i]){
            x.num[i]+=10;
            x.num[i+1]--;
        }
        x.num[i]-=y.num[i];
    }	
    while(x.num[x.len-1]==0&&x.len>1) x.len--;
    return x;
}
void gcd(huge x,huge y){
    int xx=smp(x,y),aa=1-x.num[0]%2,bb=1-y.num[0]%2;
    int tt=0;
    while(xx<3){//print(x);print(y);
        if(xx==2){
            swap(x,y);
            swap(aa,bb);
        }
        if(aa==1&&bb==1){
            x=chu(x);y=chu(y);
            tt++;
        }
        if(aa==1&&bb==0)  x=chu(x);				
        if(aa==0&&bb==1)  y=chu(y);
        if(aa==0&&bb==0)  x=minu(x,y);  
    	xx=smp(x,y);aa=1-x.num[0]%2;bb=1-y.num[0]%2;
    }
    for(int i=1;i<=tt;i++)  x=ch(x);
    print(x);
    return;
}
int main(){
    scanf("%s",&c);
    scanf("%s",&d);
    if(str(c)<str(d)||(str(c)==str(d)&&strcmp(d,c)>0)) swap(c,d);
    a.len=str(c);b.len=str(d);
    for(int i=0;i<a.len;i++)
        a.num[i]=(int)(c[a.len-i-1]-'0');
    for(int i=0;i<b.len;i++)
        b.num[i]=(int)(d[b.len-i-1]-'0');
    gcd(a,b);
    return 0;
}