bzoj 3944: Sum 杜教筛

本文介绍了一种利用数论中的莫比乌斯函数和欧拉函数特性进行高效求解的方法,通过预处理和递推实现了对较大数值的有效计算。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

题意

这里写图片描述

分析

直接用线性筛来求肯定不行,我们考虑别的方法。

ans2

S(n)=ni=1μ(i)

μd|iμ(d)=0(i>1)1(i=1)

ni=1d|iμ(d)=1

ni=1d|iμ(d)=ni=1d|iμ(d/i)=nd=1ndi=1μ(i)=nd=1S(nd)

S(n)=1nd=2S(nd)

[1,5000000]ϕμ5000000

ans1d|iϕ(d)=i同理即可得到答案。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<map>
#define LL long long
#define M 5000000
using namespace std;

LL mu[M+5],phi[M+5];
bool not_prime[M+5];
int prime[M],tot;
map <int,LL> w1,w2;

void prework(int n)
{
    mu[1]=phi[1]=1;
    for (int i=2;i<=n;i++)
    {
        if (!not_prime[i])
        {
            prime[++tot]=i;
            mu[i]=-1;
            phi[i]=i-1;
        }
        for (int j=1;j<=tot&&i*prime[j]<=n;j++)
        {
            not_prime[i*prime[j]]=1;
            if (i%prime[j]==0)
            {
                mu[i*prime[j]]=0;
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                break;
            }
            mu[i*prime[j]]=-mu[i];
            phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]];
        }
    }
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        phi[i]+=phi[i-1];
        mu[i]+=mu[i-1];
    }
}

LL get_phi(LL n)
{
    if(n<=M) return phi[n];
    if(w1.count(n)) return w1[n];
    LL ans=(LL)n*(n+1)/2;
    for (LL i=2,last;i<=n;i=last+1)
    {
        last=n/(n/i);
        ans-=(last-i+1)*get_phi(n/i);
    }
    w1[n]=ans;
    return ans;
}

LL get_mu(LL n)
{
    if(n<=M) return mu[n];
    if (w2.count(n)) return w2[n];
    LL ans=1;
    for (LL i=2,last;i<=n;i=last+1)
    {
        last=n/(n/i);
        ans-=(last-i+1)*get_mu(n/i);
    }
    w2[n]=ans;
    return ans;
}

int main()
{
    prework(M);
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while (t--)
    {
        int n;
        scanf("%d",&n);
        printf("%lld ",get_phi(n));
        printf("%lld\n",get_mu(n));
    }
    return 0;
}
评论
添加红包

请填写红包祝福语或标题

红包个数最小为10个

红包金额最低5元

当前余额3.43前往充值 >
需支付:10.00
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明:

1.余额是钱包充值的虚拟货币,按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载,可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值