bzoj 3944: Sum 杜教筛

最新推荐文章于 2020-09-19 00:25:36 发布

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本文介绍了一种利用数论中的莫比乌斯函数和欧拉函数特性进行高效求解的方法，通过预处理和递推实现了对较大数值的有效计算。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意

这里写图片描述

分析

直接用线性筛来求肯定不行，我们考虑别的方法。

$先来考虑ans2吧$

$设S(n)=\sum_{i=1}^n\mu(i)$

$根据\mu的性质\sum_{d|i}\mu(d)=0(i>1)或1(i=1)可得$

$\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}\mu(d)=1$

$\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}\mu(d)=\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}\mu(d/i)=\sum_{d=1}^n\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\mu(i)=\sum_{d=1}^nS(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor)$

$从而可以得出S(n)=1-\sum_{d=2}^nS(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor)$

$那么可以通过预处理[1,5000000]的\phi和\mu，大于5000000的用递推即可$

$ans1的话就根据\sum_{d|i}\phi(d)=i$ 同理即可得到答案。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<map>
#define LL long long
#define M 5000000
using namespace std;

LL mu[M+5],phi[M+5];
bool not_prime[M+5];
int prime[M],tot;
map <int,LL> w1,w2;

void prework(int n)
{
    mu[1]=phi[1]=1;
    for (int i=2;i<=n;i++)
    {
        if (!not_prime[i])
        {
            prime[++tot]=i;
            mu[i]=-1;
            phi[i]=i-1;
        }
        for (int j=1;j<=tot&&i*prime[j]<=n;j++)
        {
            not_prime[i*prime[j]]=1;
            if (i%prime[j]==0)
            {
                mu[i*prime[j]]=0;
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                break;
            }
            mu[i*prime[j]]=-mu[i];
            phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]];
        }
    }
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        phi[i]+=phi[i-1];
        mu[i]+=mu[i-1];
    }
}

LL get_phi(LL n)
{
    if(n<=M) return phi[n];
    if(w1.count(n)) return w1[n];
    LL ans=(LL)n*(n+1)/2;
    for (LL i=2,last;i<=n;i=last+1)
    {
        last=n/(n/i);
        ans-=(last-i+1)*get_phi(n/i);
    }
    w1[n]=ans;
    return ans;
}

LL get_mu(LL n)
{
    if(n<=M) return mu[n];
    if (w2.count(n)) return w2[n];
    LL ans=1;
    for (LL i=2,last;i<=n;i=last+1)
    {
        last=n/(n/i);
        ans-=(last-i+1)*get_mu(n/i);
    }
    w2[n]=ans;
    return ans;
}

int main()
{
    prework(M);
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while (t--)
    {
        int n;
        scanf("%d",&n);
        printf("%lld ",get_phi(n));
        printf("%lld\n",get_mu(n));
    }
    return 0;
}