bzoj3944:Sum

最新推荐文章于 2021-06-13 21:41:08 发布

weixin_30826761

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原文链接：http://www.cnblogs.com/lcxer/p/10549066.html

博客围绕杜教筛板子题展开，作者在实现hash时能力欠佳，用unordered_map解题。分别考虑ans2和ans1，根据相关公式推导出S(n)的表达式，如对于ans2，S(n)=1 - ∑(d = 2到n)S(⌊n/d⌋) ，对于ans1也有对应推导，最后递归分块求解。

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传送门

杜教筛板子题

又是卡了一晚上的常数

我的hash实现能力似乎差了点，写出来的hash连map都不如

用了点奇技淫巧，拿unordered_map把这题A了

先考虑\(ans2\)
\[ ans2=\sum_{i=1}^{n}\mu(i) \]
看到\(\mu\)就想到了\(\mu*I=ε\)

然后由杜教筛的式子可以得（\(S(n)\)为\(\sum_{i=1}^{n}\mu(i)\)）
\[ S(n)I(1)=\sum_{i=1}^{n}ε(i)-\sum_{d=2}^{n}I(d)S(\lfloor \frac{n}{d} \rfloor)\\ S(n)=1-\sum_{d=2}^{n}S(\lfloor \frac{n}{d} \rfloor)\\ \]
然后考虑\(ans1\)
\[ ans1=\sum_{i=1}^{n}\phi(i) \]
由于\(\sum_{d|n}\phi(d)=n\)

所以可得\(\phi*I=id\)

同上设\(S(n)=\sum_{i=1}^{n}\phi(i)\)
\[ S(n)I(1)=\sum_{i=1}^{n}id(i)-\sum_{d=2}^{n}I(d)S(\lfloor \frac{n}{d} \rfloor)\\ S(n)=(n+1)*n/2-\sum_{d=2}^{n}S(\lfloor \frac{n}{d} \rfloor) \]
递归分块就好了

代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<tr1/unordered_map>
using namespace std;
void read(int &x) {
    char ch; bool ok;
    for(ok=0,ch=getchar(); !isdigit(ch); ch=getchar()) if(ch=='-') ok=1;
    for(x=0; isdigit(ch); x=x*10+ch-'0',ch=getchar()); if(ok) x=-x;
}
#define rg register
const int maxn=4e6+10;bool vis[maxn];
int ans1,T,n,mu[maxn],tot,pri[maxn],phi[maxn],sum[maxn];
tr1::unordered_map<int,long long>w1;
tr1::unordered_map<int,int>w;
long long ans2,sum1[maxn];
void prepare()
{
    mu[1]=1,phi[1]=1;
    for(rg int i=2;i<=4e6;i++)
    {
        if(!vis[i])pri[++tot]=i,mu[i]=-1,phi[i]=i-1;
        for(rg int j=1;j<=tot&&pri[j]*i<=4e6;j++)
        {
            vis[i*pri[j]]=1;
            if(!(i%pri[j])){phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];break;}
            else mu[i*pri[j]]=-mu[i],phi[i*pri[j]]=phi[i]*phi[pri[j]];
        }
    }
    for(rg int i=1;i<=4e6;i++)sum[i]=sum[i-1]+mu[i],sum1[i]=sum1[i-1]+phi[i];
}
int solvemu(int n)
{
    if(n<=4e6)return sum[n];
    if(w[n])return w[n];
    int ans=1;
    for(rg int i=2,j;i<=n;i=j+1)
    {
        j=n/(n/i);
        ans-=(j-i+1)*solvemu(n/i);
        if(j==n)break;
    }
    return w[n]=ans;
}
long long solvephi(int n)
{
    if(n<=4e6)return sum1[n];
    if(w1[n])return w1[n];
    long long ans=(1ll+n)*n/2;
    for(rg int i=2,j;i<=n;i=j+1)
    {
        j=n/(n/i);
        ans-=(j-i+1)*solvephi(n/i);
        if(j==n)break;
    }
    return w1[n]=ans;
}
signed main()
{
    read(T),prepare();
    while(T--)
    {
        read(n);
        printf("%lld %d\n",solvephi(n),solvemu(n));
    }
}

转载于:https://www.cnblogs.com/lcxer/p/10549066.html