BZOJ 3944 Sum 数论

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博客介绍了BZOJ 3944题目的解题思路，涉及数论中求和问题，特别是φ(i)和μ(i)的前缀和计算。通过数学推导，得出F(n)与G(n)的关系，从而提出在不同时间复杂度下求解F(n)的方法，包括O(n^(3/4))和优化后的O(n^(2/3))。但由于算法实现中出现额外的log操作导致运行效率降低。

题目大意：求 $\sum_{i=1}^n\varphi(i)$ 和 $\sum_{i=1}^n\mu(i)$ 。
$n\leq2^{31}-1$
令 $F(n)$ 为 $f(n)$ 的前缀和， $G(n)$ 为 $g(n)$ 的前缀和，且满足 $g(n)=\sum_{i|n}f(i)$ ，则有：
$G(n)=\sum_{i=1}^ng(i)$
$\ \ \ \ \ \ \ \ =\sum_{i=1}^n\sum_{j|i}f(j)$
$\ \ \ \ \ \ \ \ =\sum_{j=1}^n\sum_{j|i}f(j)$
$\ \ \ \ \ \ \ \ =\sum_{j=1}^n\lfloor\frac n j \rfloor f(j)$
$\ \ \ \ \ \ \ \ =\sum_{j=1}^nF(\lfloor\frac n j \rfloor)$
$\therefore F(n)=G(n)-\sum_{i=2}^nF(\lfloor\frac n i \rfloor)$
若 $G(n)$ 可以在 $O(1)$ 时间内算出，则 $F(n)$ 可以在 $O(n^{\frac34})$ 的时间内算出(别问我复杂度是咋算的)
如果预处理前 $O(n^{\frac23})$ 的部分，则 $F(n)$ 可以在 $O(n^{\frac23})$ 的时间内算出(别问我复杂度是咋算的*2)
我作死多写了个log出来。。。卡死了。。。

#include <map>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define M 5000000
using namespace std;
int n;
int prime[M/5],tot;
long long phi[M],mu[M];
bool not_prime[M];
map<int,long long> _phi,_mu;
void Linear_Shaker()
{
    long long i,j;
    phi[1]=1;mu[1]=1;
    for(i=2;i<M;i++)
    {
        if(!not_prime[i])
        {
            phi[i]=i-1;
            mu[i]=-1;
            prime[++tot]=i;
        }
        for(j=1;prime[j]*i<M;j++)
        {
            not_prime[prime[j]*i]=true;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                phi[prime[j]*i]=phi[i]*prime[j];
                mu[prime[j]*i]=0;
                break;
            }
            phi[prime[j]*i]=phi[i]*(prime[j]-1);
            mu[prime[j]*i]=-mu[i];
        }
    }
    for(i=1;i<M;i++)
    {
        phi[i]+=phi[i-1];
        mu[i]+=mu[i-1];
    }
}
long long Calculate_Phi(long long n)
{
    map<int,long long>::iterator it;
    if(n<M)
        return phi[n];
    if((it=_phi.find(n))!=_phi.end())
        return it->second;
    long long i,last,re=(long long)n*(n+1)>>1;
    for(i=2;i<=n;i=last+1)
    {
        last=n/(n/i);
        re-=(last-i+1)*Calculate_Phi(n/i);
    }
    return _phi[n]=re;
}
long long Calculate_Mu(long long n)
{
    map<int,long long>::iterator it;
    if(n<M)
        return mu[n];
    if((it=_mu.find(n))!=_mu.end())
        return it->second;
    long long i,last,re=1;
    for(i=2;i<=n;i=last+1)
    {
        last=n/(n/i);
        re-=(last-i+1)*Calculate_Mu(n/i);
    }
    return _mu[n]=re;
}
int main()
{
    int T;
    Linear_Shaker();
    for(cin>>T;T;T--)
    {
        scanf("%d",&n);
        printf("%lld %lld\n",Calculate_Phi(n),Calculate_Mu(n));
    }
}