bzoj3944: Sum

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　　http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3944

求积性函数前N项的线性算法

　　积性函数是数论函数，且满足当$gcd(a,b)=1$时，$f(a)f(b)=f(ab)$
　　依据这一点，可以得到积性函数的线性筛法。
　　显然，当$x$是素数时，$f(x)$可以根据定义求出。
　　当$x$不是素数时，令$x=ab$，$a$是$x$最小非1约数（显然是素数），$b=\frac{x}{a}$，当$gcd(a,b)=1$时，可以直接$f(x)=f(a)f(b)$求出。当$gcd(a,b)=a$时，可以根据定义得到$f(x)$。（不同函数根据各自的定义求出即可）
　　具体地，边筛素数边做。对于每个数$i$，枚举比它的最小质因子小的所有素数$prime_j$，这样就可以去求$f(i\times prime_j)=f(i)f(prime_j)$。对于$i$的最小质因子$p$，根据定义求出$f(ip)$。这样可以保证筛法的线性，因为每个数只会被其最小质因子筛去。
　　这个方法有局限性，当$gcd(a,b)=a$时，如果不能根据定义方便的求出$f(ab)$的值，那就不能做了。
　　那么可以根据积性，把$x$分解成$a^cb$，$a$还是最小的质因子，$b$是剩下的因子，这时$f(x)=f(a^c)f(b)$

狄利克雷(dirichlet)卷积

　　两个数论函数$f(x)、g(x)$
　　其$dirichlet$卷积：
　　

$$(f*g)(x)=\sum_{d|x}f(d)g(\frac{x}{d})$$
　　 $dirichlet$卷积的性质：
　　交换律、结合律、分配律、
　　 $f*\epsilon=f$
　　特殊性质： $\mu*1=\epsilon$

杜教筛

　　杜教筛，我也不知道怎么得出来的，只会背公式。
　　欲求

$$S(n)=\sum_{i=1}^nf(i)$$
　　有一个公式 $$g(1)S(n)=\sum_{i=1}^n(f*g)(i)-\sum_{i=2}^{n}g(i)S(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor)$$
　　对于不同的 $f()$函数，要选择不同的 $g()$来卷。
　　这样就能够得到 $S$的递推式，直接记忆化搜索的时间复杂度是$O(N^{\frac{3}{4}})$
　　预处理前 $N^{\frac{2}{3}}$项再记忆化搜索的时间复杂度是 $O(N^{\frac{2}{3}})$

证明莫比乌斯反演定理

　　学了$drichlet$卷积之后，证明莫比乌斯反演就容易了。
　　莫比乌斯反演定理：
　　

$$f=g*1\Leftrightarrow g=\mu*f$$
　　 预备知识：
　　单位函数 $\epsilon=\begin{cases} 0 & i>1\\1&i=1\end{cases}$
　　首先有个性质 $f*\epsilon=f$
　　 充分性：
　　 $$f=g*1$$
　　卷 $\mu$
　　 $$f*\mu=g*\epsilon=g$$
　　 必要性：
　　 $$g=f*\mu$$
　　卷 $1$
　　 $$g*1=f*\mu*1=f*\epsilon=f$$
　　因此 $f=g*1$和 $g=f*\mu$互为充要条件

题解

　　呼~终于能够写题解了。
　　对于

$$s(n)=\sum_{i=1}^n\phi(i)$$
　　由杜教筛的式子（卷 $1$）得到
　　 $$s(n)=\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}\phi(d)-\sum_{i=2}^ns(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor)$$
　　有个性质 $\sum_{d|n}\phi(d)=n$，所以
　　 $$s(n)=\frac{n(1+n)}{2}-\sum_{i=2}^ns(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor)$$
　　同理对于 $\mu()$，两边也卷 $1$
　　 $$s(n)=1-\sum_{i=2}^{n}S(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor)$$

代码

//杜教筛
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define maxn 1700000
#define ll long long
using namespace std;
ll N, mu[maxn], phi[maxn], f[maxn], g[maxn], prime[maxn], mark[maxn], T, vis[maxn];
void init()
{
    ll i, j;
    phi[1]=mu[1]=1;
    for(i=2;i<maxn;i++)
    {
        if(!mark[i])prime[++prime[0]]=i, phi[i]=i-1, mu[i]=-1;
        for(j=1;j<=prime[0] and i*prime[j]<maxn;j++)
        {
            mark[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                mu[i*prime[j]]=0;
                break;
            }
            mu[i*prime[j]]=-mu[i];
            phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]];
        }
    }
    for(i=2;i<maxn;i++)phi[i]+=phi[i-1],mu[i]+=mu[i-1];
}
inline ll getf(ll n){return n<maxn?phi[n]:f[N/n];}
inline ll getg(ll n){return n<maxn?mu[n]:g[N/n];}
void calc(ll n)
{
    ll i, t=N/n, last;
    if(n<maxn)return;
    if(vis[t]!=T)vis[t]=T;else return;
    f[t]=n*(1+n)/2;
    g[t]=1;
    for(i=2;i<=n;i=last+1)
    {
        last=n/(n/i);
        calc(n/i);
        f[t]-=getf(n/i)*(last-i+1);
        g[t]-=getg(n/i)*(last-i+1);
    }
}
int main()
{
    init();
    for(scanf("%lld",&T);T;T--)
    {
        scanf("%lld",&N);
        calc(N);
        printf("%lld %lld\n",getf(N),getg(N));
    }
    return 0;
}