数理统计与数据分析第三版习题 第3章 第20题

以下解题过程都是由互联网收集或自己计算而来，并不保证正确，如有疑问可以留言讨论

题目

假设通信网络中的节点具有这样的性质，如果两个信息包到达的时间间隔小于τ, 它们就会发生冲突，必须重新传送，如果两个包到达的时间相互独立，且服务[0,T]上的均匀分布
a.问它们冲突的概率是多少
b.两个包到达时间间隔的概率密度是什么？

解题思路

a.问它们冲突的概率是多少

例题中已经给出答案：1-（1-τ/T)²

b.两个包到达时间间隔的概率密度是什么

$F_T^{{}^{\prime }}(\tau )=P(T<\tau )=1-（1-\tau /T{)}^2$
则 $f(\tau )=F_T^{{}^{\prime }}(\tau )=\frac{2}{T}-\frac{2\tau }{T^2}$
本题也可以由卷积公式解答

$$\begin{array}{rl}f(\tau )& ={\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_{T_1}(t_1)\ast f_{T_2}(t_2-z)dx\\ & ={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{1}{T^2}dx\\ 当-T<z<0& \\ & ={\int }_0^{z+T}\frac{1}{T^2}dx\\ & =\frac{z+T}{T^2}\\ 当0<z<T& \\ & ={\int }_z^T\frac{1}{T^2}dx\\ & =\frac{T-z}{T^2}\end{array}$$
由于时间间隔不会出现负数，所以需要把两个边界条件的密度都合并到Z>0的这边,并把z换成τ
最终结果为：

$$\begin{array}{r}f(\tau )=\frac{2T-2\tau }{T^2}=\frac{2}{T}-\frac{2\tau }{T^2}\end{array}$$

下图为T=5时用100000个随机变量模拟的间隔值的分布