探讨一枚新铸硬币翻转n次后，出现正面次数的概率问题。利用贝塔分布，解析后验概率密度函数，求解特定条件下的θ值。
题目
一枚新铸造的硬币沿其边缘转动，最终以某种概率出现正面，但是这个概率没有必要等于0.5，现在假设转动n次，出现在正面X次，问题硬币出现正面的机会是多少？本题在例题中已经给出答案
即Θ的后验概率分布为：
f
Θ
∣
X
(
θ
∣
x
)
=
Γ
(
n
+
2
)
Γ
(
x
+
1
)
Γ
(
n
−
x
+
1
)
θ
x
(
1
−
θ
)
n
−
x
f_Θ|X(θ|x)=\frac{Γ(n+2)}{Γ(x+1)Γ(n-x+1)}θ^x(1-θ)^{n-x}
fΘ∣X(θ∣x)=Γ(x+1)Γ(n−x+1)Γ(n+2)θx(1−θ)n−x
后验密度是参数为a=x+1,b=n-x+1的贝塔分布。
求当n=20,x=13时最大化后验概率时θ的值，a=14,b=8
解题思路
求贝塔分布的众数，即对贝塔密度函数求导
f ′ ( θ ) = 0 = ( a − 1 ) θ a − 2 ( 1 − θ ) b − 1 B ( a , b ) − ( b − 1 ) x a − 1 ( 1 − y ) b − 2 B ( a , b ) = ( a − 1 ) θ a − 2 ( 1 − θ ) b − 1 − ( b − 1 ) x a − 1 ( 1 − y ) b − 2 = ( a − 1 ) ( 1 − θ ) − ( b − 1 ) θ 求 解 θ , 当 a = 14 , b = 8 θ = a − 1 a + b − 2 = 0.65 \begin{aligned} f'(θ)&=0\\ &=\frac{(a-1)θ^{a-2}(1-θ)^{b-1}}{B(a,b)}-\frac{(b-1)x^{a-1}(1-y)^{b-2}}{B(a,b)}\\ &=(a-1)θ^{a-2}(1-θ)^{b-1}-(b-1)x^{a-1}(1-y)^{b-2}\\ &=(a − 1)(1 − θ) − (b − 1)θ\\ 求解θ,当a=14,b=8\\ θ&=\frac{a-1}{a+b-2}\\ &=0.65 \end{aligned} f′(θ)求解θ,当a=14,b=8θ=0=B(a,b)(a−1)θa−2(1−θ)b−1−B(a,b)(b−1)xa−1(1−y)b−2=(a−1)θa−2(1−θ)b−1−(b−1)xa−1(1−y)b−2=(a−1)(1−θ)−(b−1)θ=a+b−2a−1=0.65
参考
【1】http://dorman.stat.iastate.edu/wiki/stat341/files?filename=2009-04-03h.pdf第4页
以上解题过程都是由互联网收集或自己计算而来，并不保证正确，如有疑问可以留言讨论
扫一扫
441
被折叠的 条评论
为什么被折叠?
到【灌水乐园】发言
